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1、低阶群的结构摘要：木文主要通过群的定义、素数阶群、P-SylowT群以及定理，将10阶以内的群分为五类，从而讨论了每个群的同构类、构造及其代数运算等结构问题•乂根据素数阶群都是循环群且斤阶循环群与模斤的剩余类加群Z”同构，以及有限交换群的结构定理和任何一个〃阶群都S”的一个子群同构等冇关理论知识,对10阶以内每个群的同构类都找到了一个具体的群.关键词：p-Sylow子群;不变子群；同构;直积;交换群.1基本概念11.1定义1群11.1.2交换群11.1.4同构11.2符号122,3,5,7阶君羊136阶群和10阶群23.1了群、三大定理23.2直积36阶群310阶群54阶群和阶群
2、64.1可分解群64.2阶群74.3阶群85阶群9参考文献131基本概念首先介绍文中多次出现的定义及数学符号.1.1定义1.1.1群非空集合G对一个叫乘法的代数运算來说作成群,如果：(1)G对乘法封闭；(1)结合律成立,即:对任意的a,b,cwG,都有(ab)c=a(bc)成立.(2)G小至少存在一个左单位S使对任意的gwG,都有ea=a成立.(3)对任意的aeGf在G中至少存在一个左逆元,使a~la=e成立.1.1.2交换群一个群叫做交换群，如果ab=ba对任意的ci,beG都成立.1.1.3阶一个冇限群G中元的个数叫做这个群的阶，记做
3、G
4、;对群G的一个元°,能使am=e的最
5、小的正整数加叫做元a的阶，记作・1.1.4同构设(G,。)是两个群,若存在G到G的一一映射f，使gbeG,都有f(a^b)=f(a)o/(ft)成立,则说『是G到乙上的一个同构映射，如果两个群G与GZ间存在同构映射，则说这两个群是同构的，记作：G=G・1.2符号S“,次对称群，即一个包含〃个元的集合的全体置换作成的群.Cn:n阶循环群.Z“：模〃的剩余类加群.于是，由群的定义，G={e}对乘法作成群，且由群同构的定义知:对任意一个1阶群G={e},我们有G=G.故就同构的意义來说，1阶群冇11仅有1个.2,3,5,7阶群引理1⑴一个有限群G的任一元d的阶都整除G的阶.引理2⑵素数
6、阶群是循坏群.证明设群G的阶为素数八则〃〉1,故存在〃G,使问二加＞1,又加/八故m=p.即G=（a）,从而,素数阶群为循环群.引理3⑴n阶循环群与模川的剩余类加群Z”同构，且乙={[0],[1],……[n-1]},代数运算表为：[0J[1]•••[n-i][0][0][1]•••[n~i][1][1][21•••roi••■•■■•■■■•■■■■[n-l][«-1][0]•••W-2]由引理2与引理3可得：定理1就同构的意义來说，2,3,5,7阶群都有且仅有有一个，且分别为剩余类加群Z2,Z3,Z5，Z?.代数运算表如上.6阶群和10阶群3.1p-Sylow子群、S）〃ow三
7、大定理（p-Sy/ow了群）设G为有限群，p为素数
8、G
9、=prmHp/m则G中阶为//的子群叫做子群（或称为p-Sylow2?群）.（Sylow第一定理）⑵设G是一个有限群，〃为索数，若//l
10、G
11、则G必包含一个阶为pk的子群.（Sylow第二定理V】设G是一个有限群，〃为索数，则Z的任意两个p-Sylow子群都共辄，即若片，笃都是G的p-Sylow子群，则存在gwG,使gPig~l=P2-推论若有限群G只有一个p-Sylow子群，则该子群必是不变子群.(S.Mw第三定理)⑵设G是一个有限群，Ji
12、G
13、=/7m,其中p为索数，且"加，若G的p-Sylow子群共有k个，则pkl
14、G
15、
16、HZ:=1mod(p).3.2直积定义1设G],G2是两个群,加氏积GjXG2关于乘法(«j,a2)(^2)=(a{a2,b{b2)作成的群叫做G,G2的外直积，记作G,xG2・定义2设群G有两个不变了群q,G2,使G中的每个元均可表为G,G2的积,且表示法唯一，则G是其子群q,G2的内直积.引理4⑸设群G是其子群q,G2的内直积，则G=G,xG2.因此，就同构的意义来说，外直积与内直积一致，因此，当群G是子群GpG2,……G“的内直积时，也往往表示成G=G]XG?X……Gft.H在一般情况H把内或外直积都简称直积.引理5⑵(1)设人b是群G的子群I1A是不变子群，则4B是G的
17、子群;(2)设人B是G的不变子群，则AB是G的不变子群.设是群G的两个有限子群，则
18、AB
19、=昔翳.引理7⑷设卩q是索数且q>p,则pq阶群最多只有两种.引理8⑻一般地，设pg是互异的索数，则C/y・3.36阶群定理2就同构的意义來说,6阶群冇且仅冇两个,且其中一个是交换群，另一个是非交换群.证明首先,可以找到两个6阶群S3和Z&・其次，对任意一个6阶群Ge，v6=2x3・•・由Sylow第三定理知的2-S)“ow了群的个数为込=2/+1且心16,则心=1或3；的3-Sylow了群
