数值分析实验报告二

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1、数值实验报告二—、实验名称解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法二、实验目的通过数值实验，从屮体会解线性方程组选主元的必要性和LU分解法的优点,以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。三、实验内容解卜-列两个线性方程组3.016.031.99)“八⑴(1)1.274.16-1.23七=1r10-70(、<8、-32.09999962兀25.9000015-15-1兀35<2102丿E丿<1>(0.987-4.819.34人兀?丿U丿(2)比=bi(i=1,2,3•••〃)消元过程：对于k=l,2,3・・wk

2、哦

3、=max(2)交换硝与

4、瑞(j=k,k+l,k+2・・m)以及於)与曙所含的数值。(3)对于i=k,k+l,k+2・・・〃,计算ik_a⑹Ukk-叫砧)(j=k,k+l,k+2…兀)回代过程：耳=(研工砧)勺)/唸)(k=n-l,n-2,n-3…1)j=k+i在此算法中的比:)称为第k个列主元素，它的数值总要被交换到第k个主对角线元素的位置上。2、LU分解法通过MATLAB自有的函数，把系数矩阵A分解成A=LU,其中：L是下三角矩阵，U是上三角矩阵，这时方程组Ax二b就可以分解成两个容易求解的三和形方程组Ly=b,Ux=yo先由Ly二b解出向量y,再由1^=丫解岀向量x,即为原方程组Ax二b的解

5、。五.程序流程图1、列主元素高斯消去法的M文件主程序：function[RA,RB,n,X]=1iezhu(A,b)B=[Ab];n=length(b);RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;ifzhica>0zdispc请注意：因为RA〜二RB,所以此方程组无解.)returnendifRA==RBifRA==ndispC请注意：因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解冷X=zeros(nz1);C=zeros(1,n+1)；forp=1:n-1[Y,j]=max(abs(B(p:n,p)));C=B(p,:);B(p,：)=B(j+p-1

6、,:)；B(j+p-1,:)=C;fork=p+l:nm=B(k,p)/B(p,p)；B(k,p:n+1)=B(kzp:n+l)-m*B(p,p:n+1);endendb=B(1:nzn+1);A=B(1:n,1:n);X(n)=b(n)/A(nzn);forq=n-l:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q)；endelsedispC请注意：因为RA=RB

7、4.81,9・34],b=[1;1;1],det(A),[RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)★变化系数矩阵在MATLAB工作窗口中输入：»A=[3.00,6.03,1.99;1.27,4.16,-1.23;0.987,-4.81,9.34],b=[l;l;l],det(A),[RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)2、LU分解法的M文件主程序：functionhl=zhijieLU(A)[nn]=size(A);RA=rank(A);ifRA~=ndispC请注意：因为A的n阶行列式hl等于零，所以A不能进行LU分解.A的秩RA如下门RA,hl=det(A

8、);returnendifRA==nforp=l:nh(p)=det(A(1:p,1:p));endhl=h(1:n);fori=l:nifh(lzi)==0disp「请注意:因为A的r阶主子式等于零，所以A不能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下门returnendendifh(l,i)~=0disp(请注意:因为A的各阶主了式都不等于零，所以A能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如F：*)forj=l:nu(l,j)=A(lrj)；endfork=2:nfori=2:nforj=2:nL(l,l)=l;L(i,i)=l;ifi>jL(

9、1Z1)=1；L(2,1)=A(2Z1)/U(1,1);L(i,l)=A(i,l)/U(lzl)；L(izk)=(A(i,k)-L(iz1:k-l)*U(l:k-lzk))/U(k,k);elseU(k,j)=A(k,j)-L(k,l:k-l)*U(l：k-lrj)；endendendendhl;RA,U,Lendend在MATLAB工作窗口输入的程序为:»A=[10,-7Al；-3,2.099999,6,2;5,-l,5,-l;2,l,0,2],b=[8;5.900001;5;l],det(A),[RA,RB,n,X]=li