数值分析论文_自己写的

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1、论数值分析插值法的应用摘要：数值分析是高等学校理工科一门重要的基础课程，主要研究数学方法的数值求解。数值分析是各种计算性科学的联系纽带和共性基础，是一门兼有基础性、应用性和边缘性的交叉学科，数值分析中插值法包括拉格朗口插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法等。木文主要介绍了牛顿插值法。关键字：数值分析；数值求解；插值法；1弓［言数值分析是数学学科的一个分支，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程，也是科学计算的基础。数值分析⑴是以各类数学问题的数值解法作为研究对象，并结合现代计算机科学与技术为解决科学与工程中遇到的各类数学问题捉供基本的算法

2、。它对丁培养工科学生利用计算机处理工程与学上出现的计算问题尤为重要。通过该课程的学习，可以培养学生分析问题、解决问题的能力，使学生的数学应用能力得到极大提高，它是一门兼具理论性与实践性的课程。我们所学的课本《数值分析与算法》包括以下几方面的内容：矩阵与线性代数方程组、矩阵特征值、非线性方程与方程组、代数插值法、函数逼近与拟合、数值积分与数值微分、常微分方程数值解、连分式及其新计算方法。2数值分析中插值法插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践•早在一千多年前，我国科学家在研究历法时就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生以后才

3、逐步完善的，其应用也日益广泛.特别是由于计算机的使用和航空、造船、精帑机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展.尤其是近儿十年发展起来的样条(Spline)插值，获得了极为广泛的应用，并成为计算机图形学的基础0。插值法的定义插值方法是根据一组数据，如表1所示：表1插值数据表X1x2x3x4•••xnF(xl)F(x2)F(x3)F(x4)•••F(xn)求函数兀丿的近似表达式丿的方法.插值方法的必要条件是误差函数或余项R(x)=f(x)-p(x)满足关系式R(xi)=0(j=0,2,…n)当插值函数p(x)是多项式时,称为

4、代数插值方法.代数插值方法有Lagrange插值方法，逐次线性插值法Newton插值方法,Hermite插值方法，分段插值方法和样条插值方法等.其基本思想都是用高次代数多项式或分段的低次多项式作被插函数卩(兀丿的近似表达式。牛顿插值法先介绍差商及其性质函数关于xi,xj—介弄商二阶差商•般的k阶差商定义为/I岭丑一J/!耳珀一/l知不一耳_耳-1特别地，f(x)关于一个点Xi的零阶差商定义为函数值本身，即差商的性质：(1)差商与节点的排列次序无关，称为差商的对称性；(2)高阶差商可由低阶差商反复作一阶差商得到，计算具有递推性。由差商定义可得f{x

5、)=/(x0)+f[X9X0](X-Xo)又/[x,^}]=/Ix0,x1]+/[x,x0,xiL](x-x1)/!%,齐,…，耳]・・・,耳](兀一％)代入得=/1对+/13佔］8-斗)+・吕/%・玉］仗一对・4一斗1)+应心却仗一对・・£一斗)f[xi9xJ9xk]=/!巧,*订一/lx”形］式屮第一项为牛顿差值公式，第二项为牛顿差值余项。n=lNg=/(x0)+/[x0,x1](x-x0)Z1(x)=/(xoyo(x)+/(x1X(x)n=2(x)=/(x0)+/[xo,xj(x-x0)+/[%Ml朮2](X-％-刁)^(x)=/(XoXo

6、(^)+/(x1)/1(x)+/(x2)Z9(x)注：牛顿插值只需增加一项，拉氏插值需要重新计算。牛顿插值法的特点：计算量省，便于程序设计；具有承袭性的插值公式，便于理论分析。两点说明：(1)•由插值多项式的唯一性，两余项是等价的，即=才【=■齐—耳]%(2)牛顿插值法由差商表中的差商值可判断出插值多项式的次数，而拉氏插值法则要计算到最后。3应用(1)简单的数学应用例已知函数y=f(x)的观测数据如下，试用全部节点构造牛顿差商插值多项式，并用二次插值求f(3)的近似值。x02456F(x)159■413解构造差商表如下xif(xi)一阶差商二阶差

7、商三阶差商四阶差商0125249205・4-13・5■1613-171551由表可知l>(x)=l+2(x-e)+

8、多采用解析法，这样既保证了凸轮的运动特性，又便于对凸轮机构进行运动学和动力学分析⑷，因此这就使得不同工况下，凸轮设计的解析方程式往往是不