数形结合思想在初中数学教学中的广泛运用

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1、数形结合思想在初中数学教学中的广泛运用数形结合思想是指将数与图形结合起來解决问题的一•种思维方式。数和式是问题的抽象和概括，图形和图像是问题的具体和直观的反映。因此，数和形是研究数学的两个侧而，利用数形结合，常常可以使所要研究的问题化难为易，化繁为简，它是一种非常重要的数学方法。正如我国著名数学家华罗庚的诗句：数形本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形吋少直觉，形少数吋难入微，数形结合百般好,隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离。这诗阐明了数形结合思想的重要意义,它在初中数学教学中有着广泛的应用:一、数形结合思想在有理数教学屮应用。数轴乂是数形结合常用的工具，很多问题都可以借

2、助数轴来形象地表示，如用数轴上的点表示有理数，对于有理数的绝对值、和反数等概念，以及有理数的大小比较、等，更加直观，引入数轴后，用数轴上的已知点表示数，是由“形”到“数”的思想过程，把已知的数用数轴上的点表示出來，是由“数”到“形”的思想过程。案例1:a>0,b<0,且a+b<0,⑴试用号连接，a,一弘b,"b；⑵用“〉”或"号填空：-a-b,a-b,a-b0,-ab0,—「.此ab种类型题从定理上进行分析，往往会把学生的思维搞乱，但如果借助数轴从定性上分析，可使问题条理清楚、顺理成章，形象深刻.Va>0,b<0,a+b<0,A

3、a

4、<

5、b

6、,在数轴上可表示为:b0a"b学生会立即

7、看出：(l)b<-a

8、b各是8x-h<0什么数?0Q123纟48分析：不等式①的解集是%>-,不等式②的解集是x<-,III于两数待求，故不能在数98轴上表示出來，但题目条件有不等式组的整数解仅为1、2、3,因此不等式组不但有解，而月•冇三个整数解，根据“公共部分”原则，在数轴上表示如图所示，由图示易知，0<巴51,9即Q可取1、2、3、4、5、6、7、8、9九个整数；3<-<4,即b可取25、26、27、28、829、30、31、32八个整数。三、数形结合思想在函数教学中的运用。在初屮函数教学中，教材通过对函数图象的研究和分析，从而得到函数木身的性质，这体现的就是数形结合的数学思想方法。所以，教师在

9、平时的教学中，可以安排较多的通过图彖分析函数解析式、通过函数解析式分析图彖的题口，从而发挥从数与形两个方面共同分析解决问题的优势。（笫12题图）案例3：(C)二次函数y=ax2+bx+c的图彖如图所示，则一次函数y=bx-GC•与反比例函数y=Q—b+c在同一处标系内解析：①观察图象可知,抛物线开中向上，・・・0>0。②由图象与），轴负半轴相交，知cvO,・・・acvO,—次函数与y轴相交于上方。③由对称轴x=~—，得0<丄vl,得—2avbv0,・••一次函数经过二四象限。2a2a④当兀=—1时，y=a-b^-c>0,所以反比例函数图象经过一、三象限。故选13。本题在考查抛物线与

10、a,b,c符号应用的同时，体现了数形结合思想的应用，这种数形结合是分析、研究、解决问题的一种思维策略，特别是研究函数的重要数学思想。案例4：己知方程%2一（3。+2）x+（2。-1）=0的一根人于3,另一根小于3,求d的取值范围。•元二次方程的图象解法、一元二次不等式的图象解法都体现了数形结合的思想方法,因此，我们在解决这种函数问题时，时常把一元二次方程与二次函数及其图彖联系起来，通过曲草图，借助数形结合解题，既简捷又肓观明了。解析：问题等价于抛物线y=/_（3d+2）x+（2Q-l）与x轴的交点在点（3,0）的两侧。・・・1>0,・・・抛物线的开口向上，画出草图如右图所示,又抛物

11、线与兀轴的交点在点（3,0）2的两侧，・••当兀=3,）yO,即（3°+2）兀+（2a—l）v0,解得a>~.2・・・Q的取值范围是o>—。7四、数形结合思想在定理证明教学中的应用。勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系，因此它是一个数形结合的典范。利用勾股定理，可以解决与肓角三角形的冇关计算和证明问题，还可以解决生活生产中的一些实际问题。因此冇必要让学生经过探索勾股定理的证明过程。勾股定理的证明方法很多，可以用测