自动控制原理第三章 时域分析3

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1、3-5线性控制系统的稳定性分析自动控制系统的基本性能（要求）之一：稳定性分析系统动态和稳态指标必须在系统稳定的前提下进行。稳定是压倒一切的。研究内容：稳定性的概念(局限于线性系统）线性系统稳定的充要条件代数稳定性判据及其应用13.5.1稳定性的基本概念稳定是系统正常运行的前提，是控制理论研究的重要课题。李亚普诺夫稳定性理论如果一个线性控制系统在初始扰动作用下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并恢复到原始的平衡状态，则称系统是渐进稳定的，简称稳定。反之，若在初始扰动作用下，系统的动态过程随时间的推移而发散，称系统是不稳定的。2基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运

2、动情况，它与系统的输入信号无关，是系统本身固有的特性，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号（外部扰动量）和初始值无关。33.5.2．稳定的充要条件设初始条件为零时，输入为一个理想的单位脉冲函数，即R（S）=1。当作用时间t>0时，=0.即输出增量收敛于原平衡工作点，则系统是稳定的。4设闭环系统的传递函数：设为系统特征方程的根，而且彼此不等。系统输出：对上式进行拉氏反变换，得到理想脉冲函数作用下的输出：上式表明，线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均

3、分布在平面的左半部。5不稳定系统：有一个或一个以上的正实部根。临界稳定：有一个或一个以上的零实部根或一对纯虚根，而其余的特种根都有负实部。工程上，临界稳定为不稳定系统。临时稳定现象实际上时观察不到的。稳定区不稳定区临界稳定S平面6对于一阶系统，只要都大于零，系统是稳定的。对于二阶系统，只有都大于零，系统才稳定（负实根或实部为负）对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下描述的代数稳定性判据。充要条件说明注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关。73.5.3.代数稳定性判据1

4、877年，劳斯（Routh）提出了判断n次代数方程所有根都具有负实部的一般方法。1895年，瑞士数学家赫尔维茨（Hurwitz）也独立提出了同样的结果，只是形式不同。一种间接判断系统特征根是否具有全部负实部的方法系统特征方程：系统稳定需要满足必要条件（否则不稳定）：⑴系统特征方程次数不缺项⑵系统特征方程系数符号一致（全为正或负）8（一）、赫尔维茨判据赫尔维茨判据设系统的特征方程式为：则系统稳定的充要条件是：，且由特征方程系数构成的赫尔维茨行列式的主子行列式全部为正。赫尔维茨行列式的构造：主对角线上的各项为特征方程的第二项系数至最后一项系数，在主对角线以下各行中各项系

5、数下标逐次增加，在主对角线以上各行中各项系数下标逐次减小。当下标大于n或小于0时，行列式中的项取0。赫尔维茨行列式：9赫尔维茨判据以4阶系统为例使用赫尔维茨判据：赫尔维茨行列式为：稳定的充要条件是：10赫尔维茨判据的另一种形式系统稳定的充要条件（Lienard-Chipard定理）：若或，则系统稳定。赫尔维茨判据的另一种形式：式中，为赫尔维茨主子行列式。采用这种形式的判据可减少一半的计算工作量。11[例]：系统的特征方程为：试用赫尔维茨定理判稳。[解]：系统的特征方程为：列赫尔维茨行列式如下：所以，系统是稳定的。注意：由于所以根据Lienard-Chipard定理，

6、只要计算这样可以减小一半的计算量。12将各项系数，按下面的格式排成劳斯表（二）劳斯稳定判据系统的闭环特征方程为13如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，系统是稳定的。如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，系统为不稳定，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数。首先检验：系统特征方程次数是否缺项系统特征方程系数符号是否全为正注：计算时，劳斯表第一列一旦出现零或负值，就说明该系统不稳定14设系统特征方程为：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳斯表s6s5s0s1s2s3s41246357(6－4)/2=11

7、(10-6)/2=227124635710(6-14)/1=-8-82412劳斯表介绍劳斯表特点1右移一位降两阶2行列式第一列不动3次对角线减主对角线4分母总是上一行第一个元素6第一列出现零元素时，用正无穷小量ε代替。5一行可同乘以或同除以某正数77127-8ε2+8εε-8-7ε2+8εε15劳斯判据系统稳定的必要条件:有正有负一定不稳定!缺项一定不稳定!系统稳定的充分条件:劳斯表第一列元素不变号!若变号系统不稳定!变号的次数为特征根在s右半平面的个数!特征方程各项系数均大于零!-s2-5s-6=0稳定吗？16已知一系统的特征方程式为例3.1试用劳斯判据判别系