浅谈玛丽莲问题

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1、浅谈玛丽莲问题摘要：本研究对玛丽莲问题进行探讨，除了解释玛丽莲本身的解答外，另外加入了其他可能情况的分析。又对玛丽莲问题进行推广:从3门推广到n门;从主持人打开1门到打开mN；从开始选1门到开始选k门。分析此时换与不换的概率并得出结果。最后考虑到语言叙述的不精确性，得到玛丽莲问题的关键在于玛丽莲小姐是“有意识”地打开三号门（指已知三号门后是山羊），述是“随机”地打开了三号门（指不知道三号门后是否是山羊，打开后才知道是山羊）。关键词：玛丽莲问题概率争论解答1.1玛丽莲问题的提出《电脑爱好者》杂志1999年第一期上发表了一篇题为《您是否愿意换选二号门》的文章。该文介

2、绍的玛丽莲问题，原名称为霍尔问题（TheMontyHallProblem）,是指美国畅销杂志《检阅》的“玛丽莲”专栏的一则趣味数学题：有三扇门可供选择，其中一扇门后面是汽车，另两扇门后面是山羊。你当然想选屮汽车。主持人让你随便选。比如，你选屮了一号门.于是，主持人打开了后而是山羊的一扇门，比如是三号门•现在主持人问你：“为了以较大的概率选中汽车，你是坚持选一号门，还是愿意换选二号门？”最后专栏主持人玛丽莲小姐公布的正确答案是：应该换选二号门。玛丽莲的小姐的解答是这样的：应改选2号门，英理由是汽车在1号门后的概率是1/3,在2号门或3号门后的概率为2/3,现在3号

3、门排除了，因而汽车在2号门后的概率就增加到2/3o一石激起千层浪，这一问题居然引起了美国公众的广泛注意.大约有一千多所大、屮、小学进行过该题目的测验，从二年级的小学生到研究生都参与了争论。最有趣的是，在给玛丽莲小姐的一力多封读者来信中，有约一千封是具有I■専士头衔的读者写的，他们全都说：“玛丽莲小姐错了！”其中，乔治梅森大学的萨克森教授这样写道：“你在胡说什么！我来解释给你听：主持人把没有汽车的一扇门打开了，剩下的两扇门的后而冇平等的机会是一辆车，它们的概率都是1/2,因此不必换选二号门了。”1.2玛丽莲问题的分析究竟是萨克森教授所代表的1/2派的观点是正确的？

4、述是玛丽莲小姐公布的答案是正确的？按题目所说的总共有以下四种情况：（1）如果开始选中的是羊1的门，主持人打开羊2的门。那么，不换得羊，换则得车。（2）如果开始选中的是羊2的门，主持人打开羊1的门。那么，不换得羊，换则得车。（3）如果开始选中的是车的门，主持人打开羊1的门。那么，不换得车，换则得羊。（4）如杲开始选中的是车的门，主持人打开羊2的门。那么，不换得车，换则得羊。表面是看來好象换与不换的概率各占1/2。但是如果细心考虑下，就会发现这四种情况不是等概率的。开始选小车、羊1、羊2的概率都是1/3。在第1和第2种情况卜，开始选中羊1（羊2）的门，接着主持人只能

5、打开羊2（羊1）o而在第3和第4利储况下，开始选中的是车，接着主持人可能打开羊1、羊2两种情况，几率各占一半。所以，情况1的概率二开始选中羊1门的概率（1/3）*主持人打开羊2门的概率（1）=l/3o同理，情况2的概率=l/3o情况3的概率二开始选中车门的概率（1/3）*主持人打开羊1门的概率（1/2）二1/6。同理，情况4的概率二1/6。因此，换得车的概率二情况1的概率（1/3）+情况2（1/3）的概率二2/3。1.3吗丽莲问题的推广我们再分析一下另一种情况：假设，有100个门（其屮只有1辆车），开始选1个门，然后主持人打开剩余的99门中是羊的98个门。此时换

6、的概率是多少呢？分析如2开始选1门是车的概率是1/100,那么车在剩余门中的概率就是99/100,而主持人打开剩余的99门中是羊的98个门，就相当于把这98个门一起给了你。此时换的概率就是99/100o再考虑下，假如有足够多的门，让你一开始选不小车。那么，主持人接下来要做的就是在足够多-1的门中帮你挑出不是车的门，最后剩卜•的当然就是车了。因此换是很合算的！假设有8扇门，其中有3扇门后面是汽车，其余是羊，请你任选一扇门，当你选定一扇门后，主持人打开一•扇不是汽车的门，再次请你选择一扇门，这时你选中汽车的概率是多少？很显然，当你第一次选定一扇门时，这扇门后而是汽车

7、的概率是。当你再次选择时选中汽车这个事件有二种情况：（1）第一次选中汽车，第二次再选中汽车。（2）第一次选中羊，第二次才选中汽车。于是可以算出再次选择一扇门选屮汽车的概率为。比第一次选中汽车的概率要大。如果当你第二次又选定一扇门后，主持人同第一次-•样打开-•扇不是汽车的门，再让你第三次选择，这里，你选中汽车的概率是多少？第三次选屮汽车这个事件有四利储况：（1）第一次选中汽车，第二次选中汽车，第三次选中汽车。（2）第一次选中汽车，第二次选中羊，第三次选中汽车。（3）第一次选中羊，第二次选中汽车，第三次选中汽车。（4）第一次选中羊，第二次选中羊，第三次选中汽车。于

8、是可以算得第三次选中汽车