高中数学第二章圆锥曲线与方程25直线与圆锥曲线课堂导学案新人教B版选修2

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1、2.5直线与圆锥曲线课堂导学三点剖析一、利用直线与圆锥曲线的位置关系求字母的取值或取值范围【例1］已知曲线C:x2—y2=1及直线l:y=kx-l.(1)若

2、与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；⑵若1与C交于A、B两点，0是坐标原点，且AAOB的面积为2,求实数k的值.解:⑴由［宀宀人卜=1.消去y，得(1—k2)X2+2kX—2=0.1-宀0,A=4/+8(l-/)>0,得k的取值范圉为(—V2,—1)u(—1,1)u(1,V2).(2)设A(x],yi)>B(X2,y2),2k2由(1

3、)得X】+X2=,XiX2=又1过点D(0,-1),SAOAB=SAOADH"SAOBD=—

4、xil4-12Ix2l2-IX1—X2I=迈・2・・・(Xi-X2)2=(2V2)2,即冷占7温馨提示一般地，在讨论直线和圆锥曲线位置关系时，先联立方程组,再消去x(或y),得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆则无需讨论二次项系数是否为零(一定不为零)，直接考虑A的情况即可;如果是直线与双曲线或抛物线则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，这是要特别注意的问题.另外注意直线斜率不存在时的情

5、形.二、有关曲线的弦长问题【例2】椭圆ax2+by2=l与直线x+y-l二0相交于A、B,C是AB的屮点，若

6、AB

7、=22,0C的斜率为返，求椭圆的方程.2解析：设A(x】,yi)、B(x2,yj,代入椭圆方程并作差得a(xi+x2)(xi-x2)+b(yi+y2)(yi-y2)=0."+"=k妒—,代入上式可得b=V2a.%!+x22再由

8、AB

9、=V2Ix2-xiI=2V2,其中XiX2是方程(a.+b)x「2bx+bT二0的两根,故(2-尸-4・a+hb-la+h将bja代入得冷,・・・b

10、吟…••所求椭圆的方程是沽V2y2=3.温馨提示利用设点代入、作差借助斜率的解题方法，称作“差点法”，是解决直线与圆锥曲线位置关系常用方法.三、最值问题【例3】已知直线1：y=2x-4交抛物线『=4x于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使APAB的面积最大，并求出这个最大面积.分析:先求出弦长

11、AB

12、,再求出P点到直线AB的距离，从而可表示出APAB的面积，再求最值即可.解：由P'-2X~4,解得A(4,4),B(1,-2),[于=4兀，知

13、AB

14、=3V5，设P(xo,yo)为抛物

15、线AOB这条曲线上一点，d为P到直线AB的距离.1

16、yo2[]2-y0-4

17、-—-j=I(y°T)$-91‘2V5V-2

18、.各个击破类题演练1直线y=ax+l和双曲线3x2-y2=l相交于A、B两点，问a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原占0八•解:设A(xi,yi)、B(x2,y2).VZA0B=90°,/.koA•k°B=T.•xix+yiy2=0,即(『+l)xiX2+a(Xi+x2)+l=0.①y=ax+1xL2-/=i^(3_a)x_2ax_2=0,x}+x22a3-a2代入①式得8二±1.xtx2=-2变式提升1X2y2过点(1,0)的直线与双曲线——二二1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的

19、取412值范围()A.

20、k

21、^lB.V

22、k

23、W2C.

24、k

25、^V3D.

26、k

27、<1答案：B类题演练2?2r*V已知斜率为2的直线经过椭圆——+」二1的右焦点Fi,与椭圆相交于A、B两点，求弦AB44的长.解：椭圆的右焦点Fi的坐标为(1,0),直线AB的方程为y=2(x-1).y=2(x-l),由方程组v2消去y,整理，得3x2-5x=0.54设直线1与椭圆交于A(xi,yi),B(X2,y2),由韦达定理，得X1+X2二—,XiX2=0・3则

28、AB

29、=J（兀］一兀2）2+（X—力），二』（1+疋）

30、［（尢］+x2）2-4兀］兀2］{(1+2)2[(討—4x0]变式提升2已知抛物线y~6x的眩AB经过点P（4,2）,且0A丄0B（0为坐标原点），求弦AB的长.22解：由A、B两点在抛物线y~6x上，可设A（»,yj,B（丘，yj.46因为0A丄0B，所以04•OB=0.22由0A=（——,yj,0B=（丄=—,y2）,6622得〉2+阳二0.36TyyHO,/.yiy2=-36.①・.•点A、B与点P（4,2）在一条直线上，・・・4=Tv，化简，得丄,yr4歼灯x_24必+旳~6~6~即yi