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《高考中的常微分方程的解题方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、“常微分方程”在高中数学的应用高中已经学习了求导，并且进一步学习了定积分与不定几分，以及微积分基本定理。在高考题中也常常出现一些简单的常微分方程，这里谈及几种高考常见的微分方程，以及相应的解法。一、理论基础高考中常见的是简单的线性常微分方程，基本形式是)/+“Wy=g(x),这类为题有其公式可以求解，即y=高中阶段，可以用以下方法求解。例］:函数/(兀)在其定义域内满足VV)+2/(x)=—,其中厂(兀)为函数/心)的导函数，f(e)=—,则函数凡x)2eA有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极
2、大值又有极小值D既无极大值又无极小值解：^)+2/(%)=—化为厂&)+?/(兀)二哼。考虑(21nxj=Z,e2,nv=x2,XXX将/(%)+-/(%)=边同时乘以兀2'可得异广(兀)+2^(x)=lnxoXX//考虑x1fx)+2xf{x)=(x2/(x)),所以有(x2/(x))=lnx,即x2f(x)=xx-x+co即心5：+。考虑/(沪丄，解得*£，因此心2皿》"。jr2e22x所以/'(兀)=-刃_0令g(x)=-xlnx+2兀一幺，贝ijgz(x)=1-lnxoX当xw(0,幺)时
3、，g(r)>0,当xw(匕+8)时，g'(x)v0。故当x=e时，g(x)取最大值0。因此g(x)<0,因此fx)=^<0对任意兀>0恒成立，因此/⑴无极值，选D。理论上利用线性微分方程得解法是可以解决高中的所有问题，但是市于高中生只能作简积分，而对于一些函数的儿分会无能为力，因此这种方法未必适合所有的高屮生。二、乘法法则的应用有些高中阶段的微分方程可以参照乘法法则來求解。x2例2：(2013辽宁，理⑵设函数/(兀)满足x2/(x)+2#(x)=—,/⑵=—，则兀>0时,x8/(兀)()•A有极大值，
4、无极小值C既有极人值乂有极小值B有极小值，无极大值D既无极人值乂无极小值X2解：令F(x)=x7U)>则F'Xx)=x2/(x)+2xf(x)=—,F(2)=4/(2)=—x2由X1fx)^2xf{x)=乞得/Z(X)=-~翌Qo令0(兀)=ex-2F(x),fx)=,0'(工)=ex-2F'(兀)=ex-―—。XXX所以况r)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增,所以0(兀)伽=0⑵=e2-2F(2)=0,即^(x)>0,又因为x>0,所以/(%)=-^>0,X所以/(兀)单调递增在(
5、0,+oo)上无极值，选D。例3：函数/(兀)导函数为/'(%),且满足sinxfx)+cosxf(x)=sinx,求/(x)0解：考虑到sinxfx)+cosxf(x)=sin灯(r)+(sinx)/(x)=(sinxf(x))=sinx,所以sin%/*(%)=-cosx+co考虑x=0有0=-l+c,得c=l,所以f(x)=-~=tan—。sinx2三、除法法则的应用有的时候可以转化为除法法则，不过耍先确定好分母的函数。例4：(2015高考新课标2)设函数f(兀)是奇函数/(x)(xeR)的导
6、函数,/(-1)=0,当兀>0时，xfx)~f(x)<0,则使得/(x)>0成立的x的取值范围是()A.(-oo,-l)U(0,l)B.(―l,0)U(l,+s)C.(-oo,-l)U(-l,0)D.(0,l)U(l,+s)/解：由题意得当x>0吋，戏⑴；/⑴v0,即(虫］<0,设&(兀)=虫，•XkXJX所以g(x)在(0,+oo)上单调递减。又因为/&)为奇函数，并且/(-1)=0,所以/(l)=0o即g(i)=孕=0。又因为g(0在(0,+oo)上单调递减，所以XG(0,1)时，g(x)7、(X)>0;当XE(1,+°°)时，g(x)>o,/(X)<0o由于/(兀)是奇函数’所以XG(-1,0)时’/(x)vO;XG(-00,-1)时’f(兀)>0。综上，/⑴〉o的解集为(―oo,—i)U(0,1),选A。四、指数函数的应用由于"•的导数是它本身，并且恒为正数，所以解决这类问题经常用到。例5：已知定义在/?上的可导函数/（兀）的导函数为f（x）,若对于任意实数x有，/（x）+/（x）＞0,ja/（O）=l,则不等式e2f（x）＞1的解集为（）A（一8,0）B（0,4-oo）C（―8,£）D
8、/解：两边同时乘以由于K＞0,所以＜f（x）+＜f&）＞0,即@丁（兀））＞0。设函数F（0之丁（兀）,所以Fx）＞0,因此F⑴单调递增。考虑F（0）=e°/（0）=lo所以r（x）=^y（x）＞1的解集为（0,+oo）,选B。例6：若函数/（x）-/（x）=2xe/（0）=1,其中广（兀）为/（兀）的导函数,则当兀＞0时,44的収值范围是（）A（—,2]B（0,2]C（1,2]D（2,3]解：fx）-/（x）=2兀e”两边乘以厂,有
