高考理科数学复习资料35分离（常数）参数法（讲）

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1、分离（常数）参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范圉常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目，相当一部分题目都可以避开二次函数，使用分离变量，使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.1分离常数法分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围.1.1用分离常数法求分式函数的

2、最值X例1.[2016高考北京文数】函数/（劝=——（兀》2）的最大值为・x-1【答案】2【解析】/（x）=l+^-不••动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点，所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.（I）求曲线C的方程；（II）设动直线/与两定直线l

3、i:x-2y=0和?2：x+2y=0分别交于两点.若直线/总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：AOQP的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.笛919第21题图1r22【答案】（I〉花+令=1；（II）存在最小值8.【解析】（I）设点0）（1半2）,“厲切少也刃，依题意,海”filWWb所且d営即｛；二；严且/（/-2xo）=O.由于当点D不动时，点却也不动，所臥『不恒等于0,于是t=»故%=討=-*＞代入对+尤=1,可得套+与=1,即所求的曲线C•的方程为=llo4lo4（ID（1）当直线r的斜率不存在时，直线i为兀=4或鼻==

4、,都有％^=#4x4=8.（2）当直线/的斜率存在时，设直线l:y=kx+m伙工±*），由匚-°'消去y,可得（1+4/）兀？+8賦丫+4加2_i6=0.f+4）广=16,因为直线I总与椭圆C有且只有一个公共点，所以△=64以加2一4（1+4疋）（4m2-16）=0,即加?=山疋+4•①又由y=kx+m.x-2y=0,可得"2mm—2kX—2k八同理可得Q（-2mm1+2/1+2E).由原点O到直线PQ的距离为d=^L和

5、P0=Vi7P

6、»-%

7、,可得J1+/^SOPQ=^PQ-d=^m\xp-xQ=^m2m+}-2k2ml+2k将①代入②得

8、，S§OPQ=2m21一4亡恃）现+i72H0<^<-,贝】JOv1—4疋51,^^>2,所以S、”o=8(—1+)>8,当且仅当k=0时41一4疋叽1一4疋取等号.所以当k=0时，S^opq的最小值为&综合(1)(2)可知，当直线/与椭圆C在四个顶点处相切时，'OPQ的面积取得最小值8.1.2用分离常数法求函数的值域ex+h分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有尸竺如尸哄二，"“皿十等，解题的关键是通过恒等变形从分iwc~+nx+ppa+qp-sinx+q式函数中分离出常数.#+2例3.函数尸一匕>1)的最小值是()X—1【答

9、案】A【解析】・=>1,・・」一1>0.._x+2_x—2x+2x+2_x—2x+l+2x—1+3_x—1'+2x—1+3…尸X—1X—1X—1X—1=x—1+片]]+232"^+21.3用分离常数法判断分式函数的单调性例4.已知函数/(兀)=沁(如)，判断函数/(兀)的单调性.【答案】当d—b>0时，函数/⑴在(-oo,-/?)和(-b,+oo)上是减函数；当a-bvO时，函数f(x)在(-OO,_b)和(—b,+oo)上是增函数.【解析】由已知有》=(工+毎+口"=1+口,"一》・••当0-方〉0时，函数在(-CO,」)和(—“+8)x+bx+b上是

10、减函数；当攵-b<0时，函数/(X)在(-8,-5)和(-§十8)上是増函数.【答案】a>~.3【解析】*.*fXx)=x+2a-—>0在［丄,2］恒成立，即2a>-x+丄在［丄,2］恒成立,x3x3Ig84*•*(_X+_)max=~2fZ>-,即a>~.x3332分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，市此我们可以确定参数的变化范I韦I.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决•分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、两数有零点、两数单调性中参数的収值范围问题时经常用到.解

11、题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.2.