浅谈幂级数的若干应用论文

《浅谈幂级数的若干应用论文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、浅谈幕级数的若干应用一、引言在数学屮，幕级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个•幕级数的形式很像多项式，在很多方面有类似的性质，可以被看成是无穷次的多项式•幕级数是数学分析中的一个非常重要的内容，同时在复变西数论中，函数幕级数展开无论在理论上还是在应用上都占•有非常重耍的地位，是复变函数中的重要工具•幕级数的应用非常广泛，可以借助幕级数的展开形式很容易的解决一些较为复杂的问题.本文旨在研究幕级数在复变函数幕级数在的三角级数求和的应用，在判断阶H）零点，极限，组合概率计算，在递推数列求通项，计算积分等方面所起的作用，并加以总

2、结.（-）幕级数的一些基本知识定义1-1111形如8工=^0+4（工一兀0）+02（兀一兀0）2+・・.+d“（兀一兀0）"+•••'?i=0（色w/?,20,1,2…），函数项级数称为实系数幕级数•它的一般项是an（x-x0）n.当如=0时，有8工匕*=Q°+°1兀+°2疋+…./?=（）定义1-2形如g工呼"之（）+€?忆+02八+・・・，w=0（C”wC/=0丄2…），的函数项级数称为复系数幕级数.定义1・3⑵设人是一串等待的数值⑺=0,1,2,…），女U果我们能作出一个函数F（x）,它的幕级数展开式恰好是F（x）=4）+A}x+A2x2

3、+…+Anxn+…，我们就说是Fd）数列人，£，%，…，4,…的发生函数（或母函数）.一般地，多重無级数F（坷,兀2,…,耳）=工盅,叫.严用疔…成所代表的多元函数F即称为九山,.••以（加2,…，址=0,1,2,...）发生函数.定义1・4设两个形式幕级数fl（x）=^aflxf2（x）=^htlxt，•则它们的积为n=0n=0co斤fi⑴-fi⑴=”,其中系数cn=^akbn_k•71=0k=0定义1・5设/=$>/",g=$>*,h=Xcnx，t，是三个形式幕级数.如果?j=0?j=0n=0f=gh,就称于被g除的商是h,记为—=h.a

4、o定理1・1⑷复级数^CnZn=C0+Cj^4-C2Z2+--->(cz,GC,H=0,1,2-••)收敛的充分必n=()耍条件是£

5、c“忖'收敛n-0（二）函数幕级数的展开形式1•定理2・1⑸（Taylor公式）如果函数/（兀）在含有点兀。的区间（a,b）内有直到”+1阶的连续导，则当兀取区间（a,b）内任何值时，/（x）可以按（x-x0）的幕展开为/（X）=空Jr"*-x°）”+R“（X）k=0K•其中尺”（兀）=—（x-x0）n+，称为Lagrange型余项（歹介于无和x之间）.当f（x）在含有x（）的区间（d,b）内具有任意阶导数，可得

6、幕级数心（2-1）n=on!称为/（x）的Taylor级数.2.Taylor公式中的余项/?n(x)还有其他形式(1)Peano型余项当函数/⑴点勺的某邻域内有斤-1阶导数/(/，)(x0)存在，有(2)Lagrange型余项另一形式(3)积分型余项当函数在/(x)点的心某邻域内有斤+1阶连续导数时，有心(兀)=J(『)(兀-""力,0「51n视)(4)Cauchy余项在上述积分型余项的条件下，有Cauchy余项R”(兀)=+严")(无0+&(兀-兀()))(1-&)"(x_x())，，+1,os&s1(三)幕级数的性质1•定理3・1(Abe

7、l第二定理)设幕级数的收敛半径为R,则w=00(l)Xv"在(-/?,/?)上内闭一致收敛，即在任意闭区间s,b]u(-/?,/?)上一致收敛;n=00⑵若在x=R收敛，则它在任意闭区间[a,b]u(-/?,/?)上一致收敛.n-01•函数的连续性:幕级数在它的收敛域上连续.定理3-2设的收敛半径为心则和函数在(-/?,/?)±连续；若立加在n=0"0x=R(或兀二_/?)收敛，则和函数在x=R(或兀二-/?)左(右)连续.2•逐项可积:幕级数在包含于收敛域中的任意闭区间上可以逐项求积分.CC定理3・3设°,方是幕级数》耳弋收敛域中任意二点，则

8、n=0/:=()xndxoo71=0特别地，取a=09b=xt则有OOIXn=0”=()n+1SC00月•逐项积分所得幕级数£厶*‘与原幕级数Ya,/具有相同的收敛半径.n=0〃+1n=04.逐项可导性:幕级数在收敛域内部可以逐项求导.30定理3・4设的收敛半径为心则它在(-R,R)上可以逐项求导，即71=0—^anx，1=工-j-jx"=^nqxfl~x,ax/2=on=()axn=co且逐项求导所得的幕级数的收敛半径也是R."=1二、幕级数的应用函数幕级数的应用菲常广泛，但在一般的教科书屮大多只介绍了它在近似计算等方面的应用，很少提及它在

9、其他方面的应用•利用幕级数和函数的分析性质,以及函数幕级数的展开式表示函数等，常常能解决许多较为复杂的问题•下面我们来研究函数幕级数的另一些应用.(-