论文--将函数展开成幂级数的若干方法

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1、新疆师范大学2011届本科毕业论文2011届本科毕业论文题目：将函数展开成幂级数的若干方法学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学06-4班学生姓名：莎吉坦木·买买提依明指导教师：古丽巴哈尔答辩日期：2011年5月12日新疆师范大学教务处目录引言111新疆师范大学2011届本科毕业论文1泰勒级数11.1泰勒级数的定义11.2将函数展开成幂级数的条件11.3函数幂级数展开式的唯一性22函数展开成幂级数直接展开法22.1直接法22.2使用直接法将函数展开成幂级数的例题23函数展开成幂级数的间接展开法43.1间接展开法43.2使用逐项积分的方法将

2、函数展开成幂级数43.3使用逐项求导的方法将函数展开成幂级数53.4使用变量代换将函数展开成幂级数53.5通过函数变形及四则运算将函数展开成幂级数53.6使用待定系数法将函数展开成幂级数63.7使用代入法将函数展开成幂级数73.8使用长除法将函数展开成幂级数73.9使用幂级数复合法将函数展开成幂级数84结论9参考文献10致谢1111新疆师范大学2011届本科毕业论文将函数展开成幂级数的若干方法莎吉坦木.买买提依明新疆师范大学数学科学学院数学与应用数学06-4班摘要：本论文介绍了将函数展开成幂级数的多种方法，并且举出了相应的例题讲解.将函数展开

3、成幂级数主要有两种方法,即直接展开法和间接展开法.本论文还阐述了函数幂级数展开式的唯一性，指出了相关的定理.关键词：幂级数；泰勒级数；收敛域；收敛半径；泰勒余项；直接法；间接法11新疆师范大学2011届本科毕业论文将函数展开成幂级数的若干方法引言幂级数是一类重要的函数项级数，将一个函数展开成幂级数也是本论文的一个重点.确定一个已知幂级数的收敛区间以及研究其和函数的性质是在数学中重要的问题，更重要的是相反的问题，即给定一个函数f(x)，这个函数是否可以在一个给定的区间上展开为的幂级数？若函数可展开成幂级数，那么展开的方法有哪些？下面我们主要讨论

4、函数展开成幂级数的直接展开和间接展开法.1泰勒级数1.1泰勒级数的定义定义设函数f(x)在x0处有任意阶的导数，称幂级数为f(x)在x0处的泰勒级数.若,则称之为麦克劳林级数，即1.2将函数展开成幂级数的条件定理1设f(x)在x0处有任意阶的导数，则f(x)在﹤R内可展开成泰勒级数的充要条件是,其中为f(x)的泰勒公式的余项.定理2若函数f(x)在内各阶导数一致有界，即存在＞，对任意有，,则f(x)在内可以展开成的幂级数.11新疆师范大学2011届本科毕业论文1.3函数幂级数展开式的唯一性定理3若f(x)在x0的某领域内存在任意阶导数，且能展

5、开成幂级数，则其系数为且展开式是唯一的.2函数展开成幂级数直接展开法2.1直接法将函数展开成幂级数直接法的步骤：第一步求出在处的各阶导数值；第二步写出幂级数并求出收敛半径；第三步在收敛区间内考察泰勒级数余项的极限是否为0.若为0，则第（2）步写出的幂级数就是的展开式.2.2使用直接法将函数展开成幂级数的例题例1求指数函数的幂级数展开式.解的各阶导数，将代入得11新疆师范大学2011届本科毕业论文，于是得对应于的幂级数（1）下面我们来证明此级数在内收敛于，任取一正数，当＜时＜.根据定理2，当＜时，幂级数（1）收敛于，由于的任意性可知在内成立.特

6、别当时，有例2求正弦函数的幂级数展开式.解对任意有将分别代入上列各式，得于是得的幂级数展开式为＜＜.11新疆师范大学2011届本科毕业论文3函数展开成幂级数的间接展开法3.1间接展开法间接法利用幂级数的四则运算和逐项求导与逐项积分等性质，可以避免直接研究余项而能将所给的函数展开为幂级数.例3展开为的幂级数.解因为的导数为，已知故在的收敛区间内逐项求导，就得的幂级数展开式此题可由直接展开法展开，但用间接展开法更简便..3.2使用逐项积分的方法将函数展开成幂级数例4将函数展开成幂级数.解因为,而.将上式从0到逐项积分，并注意到，得,＜＜11新疆师

7、范大学2011届本科毕业论文而当时，上式右端的级数成为，显然是收敛的，又在处连续，因此得3.3使用逐项求导的方法将函数展开成幂级数例5求在的幂级数展开.解因为由于，利用逐项求导，即可得到.3.4使用变量代换将函数展开成幂级数例6将展开成的幂级数.解作代换，于是.3.5通过函数变形及四则运算将函数展开成幂级数例7将函数展开成的幂级数.解因为，分别将展开成的幂级数11新疆师范大学2011届本科毕业论文，所以.3.6使用待定系数法将函数展开成幂级数例8将函数在处展开成幂级数.解设，则，即有，比较等式两边的同次幂的系数可得：即有所以,.11新疆师范大

8、学2011届本科毕业论文3.7使用代入法将函数展开成幂级数例9求tanx的幂级数展开(到x5).解令在中，以代入，可得到=1+()+()2+…=1+x2+x4+…，