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《浅谈对斐波那契数列的认识》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、浅谈对斐波那契数列的认识(六盘水师专数学系05本姚飞)指导教师高孝忠摘要：通过解读斐波那契数列，从斐波那契数列的基本形式及证明出发，得出它的解题步骤及注意事项，从整体上把握、理解斐波那契数列，并将其应用于实际.关键词：斐波那契数列应用通项引言：斐波那契数列已从少数精英学生学习的奥林匹克竞赛课堂走向全体学生学习的大众课堂.一来增加了教师的教和学生的学的挑战，二来斐波那契数列的实际应用越来越多.因此有必要对此进行学习和研究.文章从斐波那契数列的基木形式及证明得出它的解题步骤及注意事项、解析斐波那契数列的证明
2、方法，并将斐波那契数列运用于实际.一、问题提出:一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子來。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？分析：我们不妨拿新岀生的一对小兔子分析一下，并且要求兔子的正常年龄大于1岁：第一个月：小兔子没有繁殖能力，所以还是1对；两个月后：生下一对小兔民数共有2对；三个月后：老兔了又生下一对，因为小兔了述没有繁殖能力，所以一共是3对;四个月后：老兔子乂生下一对，第二各月生的兔子也有了繁殖能力，所以也生下一队兔子，所以共有5对；9?••依次
3、类推可以列出下表:经过月数0123456789101112兔子对数1123581321345589144233表屮数字1,1,2,3,5,8,13,??构成了一个数列。这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契(Fibonacci,1770一1250)在《算盘全书》屮提出的我们称这个数列为斐波那契数列。二、斐波那契数列的通项及其递推公式如果设nF为该数列的第n项()nN,那么由上面的一列数知道：数列从第三项起，任意一项都是前面两项之和。即：12nnnFFF显然，这是一个线性递推数列。因此总结有以下儿种推倒方式
4、：方法一（利用特征方程）:线性递推数列的特征方程为：21xx解得：1152x1152x则1122nnnFcxcx•••121FF••112222112211CXCXCXCX解得:c；215c•••11515225nnnF□方法二（递推法）:设,,nNrsR1123()nnnnnFrFsFrF由12nnnFFF有1rs，1rs因此当3n时有：112()nnnnFrFsFrF1223()nnnnFrFsFrF1334()nnnnFrFsFrF99••2221()FrFsFrF将以上2n个式子和乘得:2121
5、()nnnFrFsFrF上式可化简得:11nnnFsrF同时等式两边除以ns得：111nnnnFFrssssTT则有:12TT因此112()TTTT所以:112nnnnTTrTTs,所以有数列TT为首项为21TT,公比为的等比数列。因此：TT221(X)TT又与TT联立消去1nT得:曲121FFnnnFT得:()nnnnrsT乂nnnFTs得:nnnrsFrs1rs得:综上所述:11515225nnnF方法三（黄金分割法）:因为251251是方程012xx的两根（其中11215x黄金分割比）。012xx
6、得到12xx，再左右同时乘以nx即得到：nnnxxx11121nnnxxx212由①,②容易得到:2121211211212221xxXXXXXXXXXXnnnnnn现在我们令1212nnnxxFXX得:11515225nnnF其实，该数列得求解的很多种方法，这里只列举其中得三种方法共读者参考。面我们一起研究一下该数列的一些性质。三、斐波那契数列的性质如果我们记：012340,1,1,2,3,FFFFF??,那么该数列有以下性质：性质一、12nnnFFF性质二、1352121,nnFFFFF性质三、02
7、42211,nnFFFFF性质四、2222201231nnnFFFFFFF性质五、01231(1)(1)()1,nnnFFFFFFF性质六、mnmnmnFFFFF性质七、2111(1),nnnnFFF性质八、22212nnnFFF[4]上面是斐波那契数列通过观察，由通项公式得到的一些性质，下面我们着重来研究一下数列的应用。四、斐波那契数列的应用1、数列与黄金分割的关系，定理一、若数列{}nF为斐波那契数列，则115lim2nnnFF:其中215为黄金分割比。证明：我们记:1152x1152x则有1111
8、221221121212()1552nnnnnnnnnnnnFxxxxxxxFxxxxxx因此，我们分别讨论n为奇数、偶数的两种情形，因为2nX有符号之别；i）当n为奇数时有：2221211555nnnxxxxxxx所以021log5xxN时有:,则nN1152nnFF即115lim2nnnFF这正好说明n为奇数时成立，下面我们证明n为偶数时。ii)当n为偶数时有：22212115(51)(51)nnnxxxxxxx所以021log51xx
