2.3函数的极限(二)

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1、2.3函数的极限(二)四、函数极限的运算法则及存在准则定定理1：设和1均存在，则理fcn(/W±eW)和fco(f(j)-eW)也存在，且⑴faKHRizg(功=fcn/a)±fa!g(j)简述为：代数和的极限等于极限的代数和.⑵faiSRfiU)卜缸/⑴如金)，简述为：乘积的极限等于极限Z积.推论1(二为常数)，简述为：常数因子可以提到极限号外.推论2叹/3尸(三为自然数)fa/(x)_fcn/(jr)(3)&厂凶曲(血曲#。)简述为：当分母的极限不为零时，商的极限等于极限之商.这里的极限号下并没有标明兰的变化趋势，这些运算法则对前面介绍的各种情况均适用.典型例题foi^-x+D例

2、2.3.6求极限"Lfan拧-卄0=lm(3xJ)-lmx-FfanI解ZHl=3[imir)t-fcnix-H=3xV-1+1=3结论1设y("是兰的多项式，求2花吋/(©的极限，则只需将工:代入血/W=/(*•)即可，即bn4^例2.3.7求"2F_*+5.fcn(P-x+5)=23-2+5=11*0+F-基十!5fai^-jr+s)11结论2设是有理分式，即/(©是两个多项式之商，求2岭时九0的极限，若分母在&处的函数值不为零，贝帜需将=代入'(£即可，即例2.3.8求下列函数的极限：fanF7咼F+3x+2缸/十・-1(1)(2)I卄1；(3)I~»-・解(1)下述写法正确吗

3、？为什么？d忸X-0«iYT"fcu(x-i)Ml'Z■不正确.因为此题分母的极限为0,不能用商的极限法则.0此题分子分母的极限均为零，我们将两个无穷小量Z比写成“6”的形式，其极限有0待确定，称为“6”型未定式.正确的解法是：fcn^^=fcn^5fctfl=fai(x4-l)=2*•1x-l“x-l"'■0此题是“°”型未定式.4■女42x+1匕4陨畫4■刃x+l+x+T)=^7T+7+io结论3对于”未定式，可通过分解因式或将分子分母冇理化等方法，设法析出零因式，然后消去，再求极限.课堂练习说出*列极限的解题思路.fan丘x⑴K-l；⑵X解答>>详细解题过程见教材例11的第3小

4、题和第4小题.作为同学们课后的练习.例2.3.9求下列函数的极限：2*3+137+23x34-2X-F5仃)3；(2)题型分析当"TO©时，3个小题中的分了分母极限均不存在，趋于无穷大，我们将0D8两个无穷大之比记为“®0”，其极限有待确定，称为型未定式.解_4+23-0+0375~=7+0-0=7丄十丄fai■4■=fanA===0«•jr-9«•f913x+2Kt1?7T3.27+?"o=fan————=—=0.十—I2匚2?+1・a=od«•3»+200结论4对于分子分母均为有理多项式的“8”未定式，有缸气4+<»■■4劣兰亠知尸4……+Aa(1)若分子与分母为同次多项式时，极

5、限为它们最高次幕的系数之比;(2)若分子的次数高于分母时，极限不存在，为无穷大；(3)若分子的次数低于分母时，极限为零.填空练习3^+1V+1(1)(2)co例2.3.9屮所用的方法也可举一反三地引用于解决其它一些8型极限.例如:limrlimarctanx百«-f=_Z_=_2十lim丄■帀盲■ra-*ona-»oJ?=2例2.3.10求下列极限:“8-8”型未定式.貞占-召卜辄耳罟二雪启r辄“8-8”型未定式.4-1+—(/?+!+xjj?dJfe/QgA7?Ti-x=fanXa4-1-+1-X注意：两个同号的无穷大量Z和是无穷大量，两个异号的无穷大量Z和是“血-«>”型未定式.

6、本例求极限的方法称为有理化法.结论5对于“8-8”型未定式，首先设法通过通分或冇理化等方法将两项合为一项，再观察其类型.定理2(夹逼定理八设血届C0=fc>oW=4,且则fan/(i)=-A小结(1)极限的四则运算法则.(2)关于极限题型及相应求解方法的5个结论.结论1设是工的多项式，求20时的极限,则只需将乞代入/(力即口J,即结论2设'（*）是冇理分式，即是两个多项式Z商，求吋的极限，若分母在工:处的函数值不为零，则只需将••:代入JI可即町，即H^0结论3对于“°”未定式，可通过分解因式或将分子分母有理化等方法，设法析出零因式，然后消去，再求极限.00结论4对于分了分母均为冇理

7、多项式的“血”未定式，冇,M=JI其中%w0屛#0结论5对于“”型未定式，首先设法通过通分或有理化等方法将两项合为一项，再观察其类型.