高考数学二轮专题复习——空间角的计算

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1、专题复习一一空间角的计算【知识点概要】-、异面直线的问题：需面直线所成的角的范制(0彳2.异面直线的判定方法:定义法-定理法性质法*3.异面直线所成的角的求法：①平移法一构造三角形一解三角形一余弦定理’［直接平移⑵平移f<中点平移=>“三维”转虫二维”补形平移例1.如图1,在三棱锥S-ABC中，ZSAB=ZSAC=ZACB=90°,AC=2,BC=V13,SB=J丙，求异面直线SC与AB所成角的余弦值。练习：1•空I'可四边形ABCD中，AB二CD,且异面直线AB和CD成30°的角，E,F分别是边BC和AD的屮点，则异面直线EF和AB所成角等于A.15°B.75°C.30°D.15

2、°或75°2.己知异而直线a与b成80°的角，p为空间一定点，则过点p与a,b所成的角都是50°的直线有且仅有().A.1条B・2条C.3条D.4条3.如图，五面体ABCDE屮，面BCD丄面/BC,/C丄BC,ED//AC,且AC=BC=2ED=2,DC=DB=*,H、F分别是EC、力E的中点.B(1)求证：〃面BED；(2)求界面直线FH与AC所成角的余弦值.4f2014-全国卷］已知二面角曲为6()。，AEUa,AB/为垂足，CDU0,Ce/,ZACD=135°,则异面直线力3与CD所成角的余弦值为（）A4D.*二、线面成角的问题：1•直线与平面成角的范围：［0°,2求直线与平

3、面所成的角常用方法：（1）几何法：作垂线找射影（2）用最小角定理：cos0=cos0cosB2（3）向量法：是平面"的斜线，为£_arccos^i，或者arcsin^i2AB•n网•”例2、四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SEC丄底面ABCD,己知ZABC=45°fAB=2fBC=2近,SA=SB=y/3-（I）证明：SA1BC;（II）求直线SD与平面SBC所成角的大小.例3.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，且力3=2,彩丄平面ABCD,ZABC=60°,E是BC的中点.（1）求证：4E丄PD；（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所

4、成的最大角的正切值为也・2练习：1•设斜线和平而所成的角为&,那么斜线和此平面内过谢足的所有直线的夹角屮，最大的角是,最小的夹角是2.PA,PB,PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°,那么直线PC与PAB所成角的余弦值是（）A,丄2cQ~TD也~T3•如图，在矩形中，AB=2AD,E为M的中点，现将沿直线DE翻折成△A1DE,使平面才QE丄平BCDE,F为线段才D的中点.（1）证明：EF//平面川BC；（2）求直线才C与平面才DE所成角的正切值.三、二面角平面角的问题：1.二而角的平面角的范围：［0,刊2求二而角的平面角的常用方法①定义法（图1）②三垂线（逆）定理

5、法：（图2）③垂面法（图3）④投影法COS0=沁至如（图4）S原多边形图3⑤向量法:（图5）例4［2014・全国卷］如图1・1所示,三棱柱人BC・久BC中，点⑷在平面MC内的射影D在/C上，ZACB=90°,BC=,AC=CQ=2.⑴证明：AC{LAXB;（2）设直线与平面BCCb的距离为筋，求二而角力

6、・4B・C的大小.例5•如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边，且AD=y/3,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形⑴求证：AD1BC(2)求二面角B-AC-D的大小(1)在直线&C上是否存在一点E,使ED与面BCD成30。角？若存

7、在，确定E的位置；若不存在，说明理由.练习:1.如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，ZABC=ZBCD=90AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面PBC丄底面ABCD,O是BC中点，AO交BD于E.⑴求证：阳丄BD；⑵求二面角P-DC-B的大小;⑶求证：平面PAD丄平面PAB.2.[2014•湖北卷]如图，在棱长为2的正方体ABCHBGE中,E,F,M,艸分别是棱AD,佔,/1Q的屮点，点只0分别在棱勿，上移动，且DP=BQ=A(0

8、存在，说明理由.2.[2014•江西卷]如图，四棱锥P・ABCD屮，ABCD为矩形,平ifijPADA_平面MGZ(1)求证：ABIPD.(2)若上BPCH,PB=型,PC=2,问価为何值时，四棱锥八初皿的体积最大?并求此时平而〃/乞与平面〃/乞夹角的余弦值.E3.(襄阳2016元调)四棱锥P-ABCD底面是菱形，PA丄平面ABCD,ZABC=60°,E、F分别是BC、PC的中点.(1)求证：平面AEF丄平面PAD；(2)H是PD上的动点,EII与平面PAD所成的最大