高考数学（人教A版理）一轮复习教师用书第7章第6节空间向量及其运算含解析

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1、第六节空间向量及其运算［考纲传真］1•了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.抓基础•自主学习教材・双基自主测评知识梳理▼1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反H模相等的向量共线向量(或平表示空间向量的有向线段所在的直线互相行向量)平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理

2、(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(bHO),a//b的充要条件是存在实数久，使得(2)共面向量定理：如果两个向量°,〃不共线，那么向量p与向量d,〃共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(X,尹)，使p=xa+yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a,方，c不共面，那么对空间任一向量P，存在有序实数组｛x,y,z｝,使得p+1力+:c,其中，｛a,b,c｝叫做空间的一个基底.3.两个向量的数量积(1)非零向量a,〃的数量积a-b=a\bcos〈a,b).(2)空间向量数量积的运算律：①结合律：(Xa)b=A(a

3、b)；②交换律：ab=ba；③分配律：a(b+c)=ab+ac.3.空间向量的坐标表示及其应用设a=(a,a?,Q3)，b=(b,b?,〃3)・向量表示坐标表示数量积abab+^6+036共线d=Ab(DHO,AeR)Cl=zZ?

4、9Q2=2Z?2，6/3=垂直ab=0(aHO,狞0)ab+0262+0363=0模阀yjaj+al+al夹角cos〈a,方〉(aHO,bHO)aibi+02^2+0363paf+屍+屍讨尿+尿+话学情自测■■■■■■■■■■■■■•■■■▼1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打，

5、错误的打“X”)(1)空间屮任意两非零向量4,方共面.()(2)对任意两个空间向量a,b,若ab=Q,则a丄〃.()(3)若。彷＜0,贝I」〈a,b)是钝角.()(4)若B,C,。是空间任意四点，则有AB+BC+cb+DA=G)［答案］(1)V(2)X(3)X(4)V2.(教材改编)如图7-6-1所示，在平行六面体ABCD-A}BxCxD}中，M为与的交点.若越=a,AD=b,AA=c,则下列向量中与BV湘等的向量是l2a11CMB•㊁a+㊁方+cA[BM=BB+B^M=AA}-乔)=c+*(b_a)=—务+为+c.]3.(

6、2017-福州模拟)0为空间任意一点，若方=^OA+^OB+^OC,则B,C,尸四点()A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.无法判断311B［由4+8+8=1知，力，B，C,P四点共面.］4.(201牛广东高考)已知向量a=(l,0,-1),则下列向量中与a成60。夹角的是()A.(一1丄0)B.(l,—1,0)C.(0,-1,1)B［各选项给出的向量的模都是迈，14=迈.对于选项A,设6=(-1,1,0),则cosb>ab1X(—1)」=W=V^=_2-因为0°W〈a,b>W180。，所以〈4,b>=120°.对于选项B

7、,设方=(1,-1,0),则cos八ab1X11b)=W=^2^2=2〈a,b>W180。，所以〈a,b>=60°,正确.对于选项C,设6=(0,-1,1),则cosb>ab—1X1a\b~y[2Xyj2为0°WW180。，所以〈a,b)=120°.a，”II对于选项D,设方=(—1,0,1),则cos〈a,b)=j^

8、=^x^=—1.因为0°W〈a,b>W180。，所以〈a,b)=180°.故选B.]3.己知向量a=(4,-2,-4),6=(6,一3,2),则(a+“(a—方)的值为.-13[(a+6)-(a-

9、6)=a2-62=42+(-2)2+(-4)2-[62+(-3)2+22]=-13.]明考向•题型突破

10、析典帚孫求规聲方法I5F1JJ空间向量的线性运算卜例U如图7-6-2所示，在空间儿何体ABCD-A}BxCyDx中，各面为平行四边形，设石］=a,AB=b,AD=c9M,N,尸分别是AA［fBC,CQi的屮点,试用a,b,c表示以下各向量：⑴矗(2)MP+NC{.【导学号：01772268］DPCiAB图7-6-2［解］(1)因为尸是CQi的中点,所以乔=加1+石N+D^P=a+AD+^I^Ci+*B=a+c+如.5⑵因为M是山

11、1的中点，所以济=荡+AP=^A+AP=~2a++2b)=严+卫+c.7分因为N是BC的中点,=如£)+加1=*c+a,10分所以MP+NCi=(如+如+c)+(a+却313=严+卫+尹12分［规律方法］1.(1)选择不共面的三个向量作为基向量，这