高考数学考纲解读与热点难点突破专题11数列的求和问题教学案(理科)含解析

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1、数列的求和问题【2019年高考考纲解读】高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现了转化与化归的思想．【重点、难点剖析】一、分组转化法求和有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．二、错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．三、裂项相消法求和1裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的

2、方法，主要适用于anan＋11或(其中{an}为等差数列)等形式的数列求和．anan＋2【高考题型示例】题型一、分组转化法求和*例1、若数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－λ(λ>0，n∈N)．(1)证明数列{an}为等比数列，并求an；an，n为奇数，*(2)若λ＝4，bn＝(n∈N)，求数列{bn}的前2n项和T2n.log2an，n为偶数解析：(1)∵Sn＝2an－λ，当n＝1时，得a1＝λ，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－λ，∴Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，∴数列{an}是以λ为首项，2为公比的等比数列，n－1∴

3、an＝λ2.n－1n＋1(2)∵λ＝4，∴an＝4·2＝2，n＋12，n为奇数，∴bn＝n＋1，n为偶数，2462n∴T2n＝2＋3＋2＋5＋2＋7＋＋2＋2n＋1242n＝(2＋2＋＋2)＋(3＋5＋＋2n＋1)n4－4·4n＋2n＋＝＋1－42n＋14－4＝＋n(n＋2)，3n＋1424∴T2n＝＋n＋2n－.33bn*【变式探究】在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a3＝4，a3是a2－2与a4的等差中项，若an＋1＝2(n∈N)．(1)求数列{bn}的通项公式；1(2)若数列{cn}满足cn＝an＋1＋，求数列{cn}的前n项和Sn.b2n－1·b2n＋11(2)由(1)

4、得，cn＝an＋1＋b2n－1·b2n＋11111nn＝2＋＝2＋－，n－n＋22n－12n＋1∴数列{cn}的前n项和2n111111Sn＝2＋2＋＋2＋1－＋－＋＋－23352n－12n＋1n－211＝＋1－1－222n＋1nn＋1*＝2－2＋(n∈N)．2n＋1【感悟提升】在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．【变式探究】已知{an}为

5、等差数列，且a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝88，且数列*{bn－an}为等比数列(n∈N)．(1)求数列{an}和{bn－an}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Sn.解(1)设{an}的公差为d，因为a2＝3，{an}前4项的和为16，4×3所以a1＋d＝3,4a1＋d＝16，2解得a1＝1，d＝2，*所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n∈N)．3设{bn－an}的公比为q，则b－a＝(b1－a1)q，443b4－a488－7所以q＝＝＝27，得q＝3，b1－a14－1n－1n*所以bn－an＝(4－1)×3＝3(n∈N)．n(2

6、)由(1)得bn＝3＋2n－1，23n所以Sn＝(3＋3＋3＋＋3)＋(1＋3＋5＋＋2n－1)n3(1－3)n(1＋2n－1)＝＋1－32n＋1333n22*＝(3－1)＋n＝＋n－(n∈N)．222【变式探究】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝24，S7＝63.(1)求数列{an}的通项公式；ann(2)若bn＝2＋(－1)·an，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)∵{an}为等差数列，4×3S4＝4a1＋d＝24，2a1＝3，∴解得7×6d＝2.S7＝7a1＋d＝63，2因此{an}的通项公式an＝2n＋1.ann2n＋1n(2)∵bn＝2＋(－1)·an＝

7、2＋(－1)·(2n＋1)nn＝2×4＋(－1)·(2n＋1)，n12nn8（4－1）T∴n＝2×(4＋4＋＋4)＋[－3＋5－7＋9－＋(－1)(2n＋1)]＝＋Gn.3n当n为偶数时，Gn＝2×＝n，2n8（4－1）∴Tn＝＋n；3n－1当n为奇数时，Gn＝2×－(2n＋1)＝－n－2，2n8（4－1）∴Tn＝－n－2，3n8（4－1）＋n（n为偶数），3∴Tn＝n8（4－1）－n－2（n为奇数）.3题型二、错位相减法求和例2、[2018·浙江卷]已知