高考数学二轮复习第1篇专题5立体几何第2讲大题考法__立体几何的综合问题学案

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1、第2讲大题考法——立体几何的综合问题考向一平行、垂直的证明与空间几何体的体积计算问题【典例】(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直1于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°．2(1)证明：直线BC∥平面PAD；(2)若△PCD的面积为27，求四棱锥P-ABCD的体积．[审题指导]1①看到AB＝BC＝AD，想到取AD的中点2②看到四边形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°，想到BC∥AD③看到求VP-ABCD，想到体积公式，关键是确定高及底面积[规范解答](1)证明：在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠

2、ABC＝90°，所以BC∥AD.2分?又BC?平面PAD，AD?平面PAD，3分故BC∥平面PAD.4分1(2)解：如图，取AD的中点M，连接PM，CM.由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°，2得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.6分?因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.8分因为CM?底面ABCD，所以PM⊥CM.9分设BC＝x，则CM＝x，CD＝2x，PM＝3x，PC＝PD＝2x．?取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，14所以PN＝x.10分2114因为△PC

3、D的面积为27，所以×2x×x＝27，22解得x＝－2(舍去)或x＝2．于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝23.11分所以四棱锥P-ABCD的体积1＋V＝××23＝43.12分32?处在证明线面平行问题时，易忽视线不在面内这一条件从而失分，注意线面平行条件使用的规范化．?处易忽视通过侧面PAD⊥底面ABCD可转化为线面垂直及线线垂直，从而不能创设垂直关系和利用数量等量关系来确定底面边长及高．?处易忽视如何表示△PCD的面积，即以CD为底，高如何确定，导致思路不通．[技法总结]位置关系的证明与求几何体的体积综合问题的模型[变式提升]1．(2018·天水二模)在

4、多面体ABCDPQ中，平面PAD⊥平面ABCD.AB∥CD∥PQ，AB⊥AD，△PAD为正三角形，O为AD中点，且AD＝AB＝2，CD＝PQ＝1．(1)求证：平面POB⊥平面PAC；证明由条件可知，Rt△ADC≌Rt△BAO，故∠DAC＝∠ABO．∴∠DAC＋∠AOB＝∠ABO＋∠AOB＝90°．∴AC⊥BO．∵PA＝PD，且O为AD中点，∴PO⊥AD．平面PAD⊥平面ABCD．平面PAD∩平面ABCD＝AD，∵PO⊥AD，PO?平面PAD∴PO⊥平面ABCD．又∵AC?平面ABCD，∴AC⊥PO．又∵BO∩PO＝O，∴AC⊥平面POB．∵AC?平面PAC，∴

5、平面POB⊥平面PAC．(2)求多面体ABCDP的Q体积．解取AB中点为E，连接CE，QE．由(1)可知，PO⊥平面ABCD．又∵AB?平面ABCD，∴PO⊥AB．又∵AB⊥AD，PO∩AD＝O，∴AB⊥平面PAD．13211∴VABCDP＝QVPAD-QEC＋VQ-CEB＝S△PAD·

6、AE

7、＋S△CEB·

8、PO

9、＝×2×1＋×1×2×3＝343243．3考向二平面图形的翻折与探索性问题【典例】如图①，在四边形ABCD中，AD＝CD＝2，AC＝22，△ABC是等边三角形，F为线段AC的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC

10、，如图②所示．(1)求证：AC⊥BD；VC-DFE1(2)试问：在线段BC上是否存在一点E，使得＝？若存在，请求出点E的位置；VC-DBA4若不存在，请说明理由．(1)证明AD＝CD＝2，AC＝22，222从而AD＋CD＝AC，故AD⊥CD，△ADC是等腰直角三角形．又F为线段AC的中点，所以DF⊥AC．连接BF(图略)，因为△ABC是等边三角形，所以BF⊥AC，又DF∩BF＝F，故AC⊥平面BDF．又BD?平面BDF，所以AC⊥BD．VC-DFE1(2)解线段BC上存在点E，使得＝，且E为线段BC的中点．因为平面ADC⊥平VC-DBA4面ABC，平面ADC∩

11、平面ABC＝AC，且DF⊥AC，所以DF⊥平面ABC，故DF为三棱锥D-FCE和D-ABC的高，1CF·CE·sin∠ECFVC-DFEVD-FCES△FCE2CFCE1所以＝＝＝＝·＝．VC-DBAVD-ABCS△ABC1CACB4CA·CB·sin∠ACB2又F为线段AC的中点，CF1CE1所以＝，故＝，CA2CB2从而E为线段BC的中点，VC-DFE1即当E为线段BC的中点时，＝．VC-DBA4[技法总结]1．求解平面图形折叠问题的关键和方法(1)关键：分清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决

12、问题的突破口．(2)方法：把平面图形翻