江苏省2019高考数学二轮复习专题二立体几何第2讲立体几何的综合问题学案.doc

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1、第2讲　立体几何的综合问题[考情考向分析]　江苏高考对空间几何体体积的计算是高频考点，一般考查几何体的体积或体积之间的关系．对翻折问题和探索性问题考查较少，但是复习时仍要关注．热点一　空间几何体的计算例1　(1)(2018·江苏扬州中学模拟)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为________．答案　1解析　如图，＝××AD＝××2××＝1.(2)已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，那么这个圆锥的高为________．答案　2解析　设圆锥底面半径为r，则2πr＝×3，∴r＝1

2、，∴圆锥的高为＝2.思维升华　(1)涉及柱、锥及其简单组合的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线(面)，再分析几何体的结构特征，从而进行解题．(2)求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．跟踪演练1　(1)(2018·江苏盐城中学模拟)已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为________．答案　6π解析　S圆柱＝2π×12＋2π×1×2＝6π.(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则三棱锥A－B1D1D

3、的体积为________cm3.答案　3解析　方法一　长方体ABCD－A1B1C1D1中的底面ABCD是正方形．连结AC交BD于O，则AC⊥BD，又D1D⊥AC，BD∩D1D＝D，BD，D1D⊂平面B1D1D，所以AC⊥平面B1D1D，AO为A到平面B1D1D的垂线段，AO＝AC＝.又＝D1D×D1B1＝×2×3＝3，所以所求的体积V＝××3＝3cm3.方法二　＝×A1B1×＝×3××3×2＝3cm3.热点二　空间图形的翻折问题例2　(2018·江苏泰州中学调研)一副直角三角板按下面左图拼接，将△BCD折起，得到三棱锥A－BCD(下面右图)．(1)若E，

4、F分别为AB，BC的中点，求证：EF∥平面ACD；(2)若平面ABC⊥平面BCD，求证：平面ABD⊥平面ACD.证明　(1)∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又∵EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴EF∥平面ACD.(2)∵平面ABC⊥平面BCD，BC⊥DC，平面ABC∩平面BCD＝BC，CD⊂平面BCD，∴DC⊥平面ABC，又∵AB⊂平面ABC，∴DC⊥AB，又∵AB⊥AC，AC∩CD＝C，AC⊂平面ACD，CD⊂平面ACD，∴AB⊥平面ACD，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACD.思维升华　平面图形经过翻折成为空间图形后，原有

5、的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．跟踪演练2　如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝.(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF.证明　(1)

6、如图1，在等边三角形ABC中，AB＝AC.因为AD＝AE，所以＝，所以DE∥BC，所以DG∥BF.如图2，DG⊄平面BCF，BF⊂平面BCF，所以DG∥平面BCF.同理可证GE∥平面BCF.因为DG∩GE＝G，DG，GE⊂平面DEG，所以平面DEG∥平面BCF，又因为DE⊂平面DEG，所以DE∥平面BCF.(2)证明　如图1，在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥FC，所以BF＝FC＝BC＝.在图2中，因为BC＝，所以BC2＝BF2＋FC2，所以∠BFC＝90°，所以FC⊥BF，又AF⊥FC，因为BF∩AF＝F，BF，AF⊂平面ABF，所以CF

7、⊥平面ABF.热点三　探索性问题例3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．(1)证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．(1)证明　因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以B1C1⊥平面ABB1A1.因为A1B⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B.又因为A1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1，AB1，B1C1⊂平面ADC1B1，所以A1B⊥平面ADC1B1.因为A1B⊂平面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.(2)解　当点F为C1D1

8、的中点时，可使B1F∥平面A1BE.证明如下：设A1B∩AB1＝O，连结EO，E