高考数学二轮复习第1篇专题7解析几何第3讲第2课时最值与范围问题学案

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1、第二课时最值与范围问题考向一圆锥曲线中的最值问题2【典例】已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y＝4x上相异两点，且满足x1＋x2＝2．(1)若AB的中垂线经过点P(0,2)，求直线AB的方程；(2)若AB的中垂线交x轴于点M，求△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．[思路分析]看到：求直线方程和最值问题．总体想到：直线方程的几种形式及构建关于面积函数，转化为函数最设计值问题．(1)设出直线AB的方程并代入抛物线方程，结合根与系数关系求解题解AB的斜率；指导(2)以三角形面积为突破口建立关于面积的函数，通过利用导数求面积最大值，解得直线斜率，从而求出

2、直线方程.[规范解答](1)当AB垂直于x轴时，显然不符合题意；所以可设直线AB的方程为y＝kx＋b，1分2222代入方程y＝4x得：kx＋(2kb－4)x＋b＝0，4－2kb2∴x1＋x2＝k2＝2，得b＝k－k，2∴直线AB的方程为y＝k(x－1)＋k，3分∵AB中点的横坐标为1，2∴AB中点的坐标为1，k，∴AB的中垂线方程为1213kky＝－k(x－1)＋k＝－x＋，4分∵AB的中垂线经过点P(0,2)，故33k＝2，得k＝，23∴直线AB的方程为y＝x－21.5分6(2)由(1)可知AB的中垂线方程为y＝－1xk3＋k，∴M点的坐标为(3,0)，6分

3、22∵直线AB的方程为kx－ky＋2－k＝0，∴M到直线AB的距离d＝k2x－ky＋2－k2＝0，

4、3k2＋2－k2

5、42＝k＋k2k22k2＋1

6、k

7、，7分2由y2＝4x得4y－ky＋2－k＝0，4∴y1＋y2＝k，y1·y2＝8－4k2k2，8分22141＋kk－1

8、AB

9、＝1＋k2

10、y1－y2

11、＝k2，9分11∴S△MAB＝41＋k21－k2，1设1－k2＝t，则0

12、漏掉AB斜率不存在的情况；(2)求面积最值时注意换元法的运用，同时注意换元后新元的取值范围．[技法总结]最值问题的求解思路(1)建立目标函数，然后根据目标函数的特征选择相应的方法进行求解．(2)构建不等式，利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解，且大多会用到基本不等式．[变式提升]x2y211．(2018·天水二模)已知椭圆E：a2＋b2＝1(a＞b＞0)经过点P－3，2，椭圆E的一个焦点为(3，0)．(1)求椭圆E的方程；2(1)若直线l过点M(0，2)且与椭圆E交于A，B两点．求

13、AB

14、的最大值．解(1)依题意，设椭圆E的左，右焦点分别为F1(－3

15、，0)，F2(3，0)．则

16、PF1

17、＋

18、PF2

19、＝4＝2a，∴a＝2，c＝3，∴b＝1，2x2∴椭圆E的方程为4＋y＝1．(2)当直线l的斜率存在时，22设l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．y＝kx＋2，由x224＋y＝1得(1＋4k)x＋82kx＋4＝0．2由Δ＞0得4k＞1．82k4由x1＋x2＝－1＋4k2，x1x2＝1＋4k2得2

20、AB

21、＝1＋kx1＋x2212－4x1x221＝2－611＋4k＋1＋4k2＋1．1设t＝1＋4k2，则0＜t＜2．2∴

22、AB

23、＝2－6t＋t＋11＝2－6t－22556＋≤12246．，当直线l的斜

24、率不存在时，

25、AB

26、＝2＜56656∴

27、AB

28、的最大值6．2x22．(2018·攀枝花三模)已知椭圆5＋y＝1的右焦点为F，坐标原点为O.椭圆C的动弦AB过右焦点F且不垂直于坐标轴，AB的中点为N，过F且垂直于线段AB的直线交射线ON于点M．(1)求点M的横坐标；(2)当∠OMF最大时，求△MAB的面积．解(1)易知F(2,0)，设AB所在直线为y＝k(x－2)(k≠0),A(x1，y1)，B(x2，y2)，x22联立方程组5＋y＝1，y＝kx－化简得(5k＋1)x－20kx＋(20k－5)＝0，22222由韦达定理得x1＋x2＝5k2＋1，x1x2＝5k2＋1，2

29、0k20k－52则N10k25k＋12，－2k5k＋12，从而ON所在直线方程为又FM所在直线方程为y＝－(x－2)，联立两直线方程解得1y＝－5kx，1kxM＝52．(2)方法一由(1)得M2，－2k，则51→MF＝－2，2k，MO＝－2，2k，11→51则cos∠OMF＝→MF·→MO

30、MF

31、·

32、MO

33、→→＝514＋4k2k2＋125k4＋10k2＋125k4＋26k2＋14k2·25k2＋14k2＝＝1－25k416k2＋26k＋12＝1－1625k2＋26＋15≥3当且仅当k＝5时取等号21，k2当cos∠OMF取得最小值时，∠OMF最大，1