2019版高考数学二轮复习 第1篇 专题7 解析几何 第3讲 第3课时 定点、定值与探索性问题学案

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1、第三课时　定点、定值与探索性问题考向一　圆锥曲线中的定值问题【典例】(2018·临沂质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过(1,1)与两点．(1)求椭圆C的方程；(2)过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，椭圆C上一点M满足

2、MA

3、＝

4、MB

5、.求证：＋＋为定值．[思路分析]总体设计看到：求椭圆方程与定值问题．想到：利用特例得出定值再证明，或采用推理、计算、消元得定值．解题指导(1)利用待定系数法求椭圆方程；(2)先利用特殊情况得出定值，再推广到一般情况，即分别用直线斜率k表示出

6、OA

7、2、

8、OB

9、2和

10、OM

11、2，再化简求值.[规范解答]　(1)将

12、(1,1)与两点代入椭圆C的方程，得解得2分∴椭圆C的方程为＋＝1.4分(2)证明：由

13、MA

14、＝

15、MB

16、，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A，B关于原点对称.5分①若点A，B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时＋＋＝＋＋＝2．6分同理，若点A，B是椭圆的长轴顶点，则点M是椭圆的一个短轴顶点，此时＋＋＝＋＋＝2．7分②若点A，B，M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OM的方程为y＝－x，设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，8分由消去y得，x2＋2k2x2－3＝0，解得x＝，y＝，9分∴

17、OA

18、2

19、＝

20、OB

21、2＝x＋y＝，同理

22、OM

23、2＝，10分∴＋＋＝2×＋＝2.11分故＋＋＝2为定值.12分[技法总结]　求解定值问题的两大途径(1)首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证明定值：即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关．(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．[变式提升]1．(2018·益阳三模)已知抛物线C1的方程为x2＝2py(p＞0)，过点M(a，－2p)(a为常数)作抛物线C1的两条切线，切点分别为A，B．(1)过焦点且在x轴上截距为2的直线l与

24、抛物线C1交于Q，N两点，Q，N两点在x轴上的射影分别为Q′，N′，且

25、Q′N′

26、＝2，求抛物线C1的方程；解　因为抛物线C1的焦点坐标是，所以过焦点且在x轴上截距为2的直线方程是＋＝1，即＋＝1．联立消去y并整理，得x2＋x－p2＝0，设点Q(xQ，yQ)，N(xN，yN)，则xQ＋xN＝－，xQxN＝－p2．则

27、Q′N′

28、＝

29、xQ－xN

30、＝＝＝＝2，解得p＝2．所以抛物线C1的方程为x2＝4y．(2)设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2,求证：k1·k2为定值．证明　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＞0，x2＜0)，依题意，由x2＝

31、2py(p＞0)，得y＝，则y′＝．所以切线MA的方程是y－y1＝(x－x1)，即y＝x－.又点M(a，－2p)在直线MA上，于是有－2p＝×a－，即x－2ax1－4p2＝0．同理，有x－2ax2－4p2＝0，因此，x1，x2是方程x2－2ax－4p2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－4p2．所以k1·k2＝·＝＝＝－4，故k1·k2为定值得证．2．(2018·龙岩一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点在椭圆上．不过原点的直线l与椭圆交于A，B两点，且·＝0(O为坐标原点)．(1)求椭圆C的方程；(2)试判断＋是否为定值？若是

32、，求出这个值；若不是，请说明理由．解　(1)∵椭圆C的离心率e＝＝，又c2＝a2－b2，∴a2＝a2－b2，∴a2＝4b2．又点P在椭圆上，∴＋＝1，即＋＝1，∴b2＝1，则a2＝4，∴椭圆C的方程为＋y2＝1．(2)当直线OA的斜率存在且不为0时，设其方程为y＝kx，∵A，B分别为椭圆上的两点，且·＝0，即OA⊥OB，∴直线OB的方程为y＝－x．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx代入椭圆C：＋y2＝1，得x＝，∴y＝，同理x＝，∴y＝，∴＋＝＋＝＋＝．当直线OA，OB中的一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0，此时＋＝＋＝＋1

33、＝．综上所述，＋为定值．考向二　圆锥曲线中的定点问题【典例】(2018·荆州二模)已知倾斜角为的直线经过抛物线Γ：y2＝2px(p＞0)的焦点F，与抛物线Γ相交于A、B两点，且

34、AB

35、＝8．(1)求抛物线Γ的方程；(2)过点P(12,8)的两条直线l1、l2分别交抛物线Γ于点C、D和E、F，线段CD和EF的中点分别为M、N.如果直线l1与l2的倾斜角互余，求证：直线MN经过一定点．(1)解　由题意可设直线AB的方程为y＝x－，由消去y整理得x2－3px＋＝0，设令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，由抛物线的定义得

36、AB

37、＝x1＋

38、x2＋p＝4p＝8，∴4p＝8，∴p＝2．∴抛物线的方程为y2＝4x．(2)证明　设直线l1、l2的倾斜角分