2018届高考数学大二轮复习 专题六 解析几何 第3讲 定点、定值、存在性问题复习指导课后强化训练

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1、专题六 第三讲A组1.(2017·天津津南一模)平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=λ1+λ2(O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是( A )A.直线  B.椭圆  C.圆  D.双曲线[解析] 设C(x,y),因为=λ1+λ2,所以(x,y)=λ1(3,1)+λ2(-1,3),即解得又λ1+x2=1,所以+=1,即x+2y=5,所以点C的轨迹为直线.故选A.2.(2017·长春质检)过双曲线x2-=1的右支上一点P,分别向圆C1:(x+4)2+y2=4和圆C2:(x-4)2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则

2、PM

3、2-

4、PN

5、

6、2的最小值为( B )A.10B.13C.16D.19[解析] 由题意可知,

7、PM

8、2-

9、PN

10、2=(

11、PC1

12、2-4)-(

13、PC2

14、2-1),因此

15、PM

16、2-

17、PN

18、2=

19、PC1

20、2-

21、PC2

22、2-3=(

23、PC1

24、-

25、PC2

26、)(

27、PC1

28、+

29、PC2

30、)-3=2(

31、PC1

32、+

33、PC2

34、)-3≥2

35、C1C2

36、-3=13.故选B.3.(2017·山西质检)已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且

37、F1F2

38、=2,若P是该双曲线右支上的一点,且满足

39、PF1

40、=2

41、PF2

42、,则△PF1F2面积的最大值是( B )A.1B.C.D.2[解析] ∵∴

43、PF1

44、=4a,

45、P

46、F2

47、=2a,设∠F1PF2=θ,∴cosθ==,∴S2△PF1F2=(×4a×2a×sinθ)2=16a4(1-)=-9(a2-)2≤,当且仅当a2=时,等号成立,故S△PF1F2的最大值是.故选B.4.(2017·云南统检)已知双曲线M的焦点F1,F2在x轴上,直线x+3y=0是双曲线M的一条渐近线,点P在双曲线M上,且·=0,如果抛物线y2=16x的准线经过双曲线M的一个焦点,那么

48、

49、·

50、

51、=( B )A.21B.14C.7D.0[解析] 设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),∵直线x+3y=0是双曲线M的一条渐近线,∴=,①又抛物线的准线为x=-4,∴c=4②又a2+b2=c2.

52、③∴由①②③得a=3.设点P为双曲线右支上一点,∴由双曲线定义得=6④又·=0,∴⊥,∴在Rt△PF1F2中

53、

54、2+

55、

56、2=82⑤联立④⑤,解得

57、

58、·

59、

60、=14.5.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若

61、FA

62、=2

63、FB

64、,则k的值为( D )A.B.C.D.[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1>0,x2>0,∴

65、FA

66、=x1+2,

67、FB

68、=x2+2,∴x1+2=2x2+4,∴x1=2x2+2.由,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,∴x1x2=4,x1+x2==-4.由,得x+x2-2=0,∴x2=1,∴x1=

69、4,∴-4=5,∴k2=,k=.6.(文)已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1、F2,且它们在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若

70、PF1

71、=10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是( C )A.(,)B.(,)C.(,)D.(,1)[解析] 设椭圆的半焦距为c,长半轴长为a,由椭圆的定义及题意知,

72、PF1

73、=2a-

74、PF2

75、=2a-2c=10,得到a-c-5=0,因为双曲线的离心率的取值范围为(1,2),所以1<<2,∴

76、范围是(,).(理)(2016·四川卷,8)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且

77、PM

78、=2

79、MF

80、,则直线OM斜率的最大值为( C )A.B.C.D.1[解析] 设P(,t),则F(,0),则由

81、PM

82、=2

83、MF

84、,得M(,),当t=0时,直线OM的斜率k=0,当t≠0时,直线OM的斜率k==,所以

85、k

86、=≤=,当且仅当=时取等号,于是直线OM的斜率的最大值为,故选C.7.(2017·河南洛阳统考)已知F1,F2分别是双曲线3x2-y2=3a2(a>0)的左、右焦点,P是抛物线y2=8ax与双曲线的一个交点,若

87、PF1

88、+

89、PF2

90、

91、=12,则抛物线的准线方程为__x=-2__.[解析] 将双曲线方程化为标准方程得-=1,抛物线的准线为x=-2a,联立⇒x=3a,即点P的横坐标为3a.而由⇒

92、PF2

93、=6-a,又易知F2为抛物线的焦点,∴

94、PF2

95、=3a+2a=6-a,得a=1,∴抛物线的准线方程为x=-2.8.(2017·南昌一模)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M,N两点.设直线l是抛物线C的切线,且l∥

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