2019版高考数学二轮复习第1篇专题7解析几何第3讲第2课时最值与范围问题学案.doc

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1、第二课时　最值与范围问题考向一　圆锥曲线中的最值问题【典例】已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝4x上相异两点，且满足x1＋x2＝2．(1)若AB的中垂线经过点P(0,2)，求直线AB的方程；(2)若AB的中垂线交x轴于点M，求△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．[思路分析]总体设计看到：求直线方程和最值问题．想到：直线方程的几种形式及构建关于面积函数，转化为函数最值问题．解题指导(1)设出直线AB的方程并代入抛物线方程，结合根与系数关系求解AB的斜率；(2)以三角形面积为突破口建立关于面积的函数，通过利用导数求面积最大值

2、，解得直线斜率，从而求出直线方程.[规范解答]　(1)当AB垂直于x轴时，显然不符合题意；所以可设直线AB的方程为y＝kx＋b，1分代入方程y2＝4x得：k2x2＋(2kb－4)x＋b2＝0，∴x1＋x2＝＝2，得b＝－k，∴直线AB的方程为y＝k(x－1)＋，3分∵AB中点的横坐标为1，∴AB中点的坐标为，∴AB的中垂线方程为y＝－(x－1)＋＝－x＋，4分∵AB的中垂线经过点P(0,2)，故＝2，得k＝，∴直线AB的方程为y＝x－.5分(2)由(1)可知AB的中垂线方程为y＝－x＋，∴M点的坐标为(3,0)，6分∵直线AB的方程为k2x－ky＋

3、2－k2＝0，∴M到直线AB的距离d＝＝，7分由得y2－ky＋2－k2＝0，∴y1＋y2＝，y1·y2＝，8分

4、AB

5、＝

6、y1－y2

7、＝，9分∴S△MAB＝4，设＝t，则0

8、，利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解，且大多会用到基本不等式．[变式提升]1．(2018·天水二模)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点P，椭圆E的一个焦点为(，0)．(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l过点M(0，)且与椭圆E交于A，B两点．求

9、AB

10、的最大值．解　(1)依题意，设椭圆E的左，右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)．则

11、PF1

12、＋

13、PF2

14、＝4＝2a，∴a＝2，c＝，∴b2＝1，∴椭圆E的方程为＋y2＝1．(2)当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得(1＋4k2)x

15、2＋8kx＋4＝0．由Δ＞0得4k2＞1．由x1＋x2＝－，x1x2＝得

16、AB

17、＝＝2．设t＝，则0＜t＜．∴

18、AB

19、＝2＝2≤．当直线l的斜率不存在时，

20、AB

21、＝2＜，∴

22、AB

23、的最大值．2．(2018·攀枝花三模)已知椭圆＋y2＝1的右焦点为F，坐标原点为O.椭圆C的动弦AB过右焦点F且不垂直于坐标轴，AB的中点为N，过F且垂直于线段AB的直线交射线ON于点M．(1)求点M的横坐标；(2)当∠OMF最大时，求△MAB的面积．解　(1)易知F(2,0)，设AB所在直线为y＝k(x－2)(k≠0),A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组化简

24、得(5k2＋1)x2－20k2x＋(20k2－5)＝0，由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝，则N，从而ON所在直线方程为y＝－x，又FM所在直线方程为y＝－(x－2)，联立两直线方程解得xM＝．(2)方法一　由(1)得M，则＝，＝，则cos∠OMF＝＝＝＝＝≥，当cos∠OMF取得最小值时，∠OMF最大，此时x1＋x2＝2，x1x2＝－，

25、AB

26、＝

27、x1－x2

28、＝×＝，

29、FM

30、＝＝，从而S△MAB＝

31、AB

32、·

33、FM

34、＝．方法二　由(1)得M，设直线x＝与x轴的交点为点G，则tan∠OMG＝＝＝5

35、k

36、，tan∠FMG＝＝＝

37、k

38、，则tan∠OMF

39、＝tan(∠OMG－∠FMG)＝＝≤，当tan∠OMF取得最大值时，∠OMF最大，此时x1＋x2＝2，x1x2＝－，

40、AB

41、＝

42、x1－x2

43、＝×＝，

44、FM

45、＝＝，从而S△MAB＝

46、AB

47、·

48、FM

49、＝．考向二　圆锥曲线中的范围问题【典例】已知A、B、C是椭圆M：＋＝1(a>b>0)上的三点，其中点A的坐标为(2，0)，BC过椭圆的中心，且∠OCA＝90°，

50、BC

51、＝2

52、AC

53、．(1)求椭圆M的方程；(2)过点(0，t)的直线(斜率存在)与椭圆M交于P、Q两点，设D为椭圆与y轴负半轴的交点，且

54、DP

55、＝

56、DQ

57、，求实数t的取值范围．解　(1)∵

58、BC

59、

60、＝2

61、AC

62、且BC过点(0,0)，则

63、OC

64、＝

65、AC

66、．∵∠OCA＝90°，∴C(，)．由题意知a＝2，则椭圆M的方程为＋