GB_n链的主同余性质_

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1、2012年12月纯粹数学与应用数学Dec.2012第28卷第6期PureandAppliedMathematicsVol.28No.6GBn链的主同余性质孙中举,方捷(广东技术师范学院计算机科学学院,广东广州510665)摘要：Ockham代数是一个代数(L;∧,∨,f,0,1),其中(L;∧,∨,0,1)是有界分配格,f是L上的偶格自同态.GB代数是指一个Ockham代数(L;f),它满足条件:(fn(L);f)n是布尔代数.它包含常见的布尔代数、deMogan代数和Stone代数.本文研究了GBn链的代数结构,并给出一个GB

2、n链具有主同余性质的充分与必要条件.关键词：GBn代数;主同余;链中图分类号：O153文献标识码：A文章编号：1008-5513(2012)06-0779-131引引引言言言及及及预预预备备备知知知识识识如果一个代数上的所有同余关系都是主同余[1],那么称这个代数具有主同余性质.例如,有限的布尔代数就具有主同余性质.1990年,文献[1]刻画了具有主同余性质的分配格:deMorgan代数和Stone代数.1992年,文献[2]刻画了具有主同余性质的伪补代数和双重伪补代数.2009年,文献[3]刻画了具有主同余性质的一类群.虽然布

3、尔代数、deMorgan代数和Stone代数的主同余性质已经被完全地研究清楚,但布尔代数、deMorgan代数和Stone代数只是Ockham代数类中一小部分最特殊的代数子类.如何刻画整个Ockham代数类的主同余性质,这是一项艰难而持久的研究工作.目前,Ockham代数的主同余性质的研究成果就停留在布尔代数、deMorgan代数和Stone代数.为了在此领域有所突破,本文尝试研究GBn链的主同余性质.GBn代数是Ockham代数的一个较大子类,它包含布尔代数、deMorgan代数和Stone代数.通过研究,给出了具有主同余性质

4、的GBn链的充分必要条件.回顾文献[4],一个Ockham代数,是指具有⟨2,2,1,0,0⟩类型的代数(L;∧,∨,f,0,1).其中(L;∧,∨,0,1)是有界分配格,运算x7→f(x)是L的偶自同态.Ockham代数包含著名的布尔代数、deMorgan代数、Stone代数和Kleene代数等,其与理论计算机科学的研究联系紧密,特别是在自动机和多值逻辑领域已经有较多研究.文献[5]介绍了一类广义的布尔代数,称之为GBn代数.它是Ockham代数的一个较大的代数子类,包含常见的布尔代数、Stone代数和对偶Stone代数.所谓

5、GBn代数,是指一个Ockham代数(L;f),它满足条件:(fn(L);f)是一个布尔代数,其中n≥0,而且fn(L)={fn(x)

6、x∈L}.显然,GB0=B,B是布尔代数,且B=GB0⊆GB1⊆GB2⊆···⊆GBn.收稿日期：2012-05-15.基金项目：国家自然科学基金(11261021).作者简介：孙中举(1982-),博士,讲师,研究方向：格论与有序代数.780纯粹数学与应用数学第28卷有关Ockham代数与GBn代数的基本性质,请参见文献[4-5].设A是一个代数,H⊆A,用θ(H)表示A的包含H×H的最小的同

7、余关系.当H={a,b}时,称θ(a,b)是A的一个主同余.特别地,对于格L,通常用θlat(a,b)表示L的格主同余.为了文中需要,给出分配格的主同余的一些基本性质如下:引引引理理理1.1[6]设L是一个分配格,a,b,x,y∈L,且a≤b.则(1)x≡y(θlat(a,b))当且仅当x∧a=y∧a,x∨b=y∨b;(2)θlat(a,b)∧θlat(c,d)=θlat((a∨c)∧b∧d,b∧d).设(L;f)是一个Ockham代数,若θ是L上的格同余关系,且(a,b)∈θ蕴含(f(a),f(b))∈θ,那么θ是一个Ockh

8、am同余关系(简称同余关系).将用符号ω和ι分别表示相等关系和泛关系.在一个Ockham代数(L;f)中,下面所定义的L的等价关系∨(x,y)∈⇐⇒fn(x)=fn(y)及=n!nn0是L的基本同余[4].显然,有1626···6···6!<ι.关于Ockham代数的主同余关系,已于1977年由Berman所刻画[4;6].相关知识也可以参考文献[7-10].为读者方便起见,给出如下.引引引理理理1.2[4]设(L;f)是一个Ockham代数.若a,b∈L且a≤b,则∨θ(a,b)=θ(fn(a),fn(b)).l

9、atn0引引引理理理1.3设(L;f)∈GBn.则有如下性质:(1)(∀x∈L)fn+2(x)=fn(x);(2)(∀m>n)m=n.因而!=n.证证证明明明(1)因(fn(L);f)是布尔代数,故对任意x∈L,有fn(x)∧fn+1(x)=0及fn(