经济数学微分方程

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1、2021/7/201CH6微分方程微分方程是研究动态经济学的基本工具。通过计算微分方程来分析变量的具体时间路径，以及能否收敛于均衡。2021/7/202一、导论变量为导数的方程称为微分方程。例如：如果只有一个自变量，称为常微分方程（ODE）。常微分方程的阶是方程中最高导数的阶数。宏观经济学使用的ODE都是对时间的导数。例：若x(t)是常数，方程被称为自控的（一个方程仅通过变量y而依赖于时间）。若x(t)＝0，方程被称为齐次的。2021/7/203微分方程的解法求解微分方程的目的在于找到变量的变化特征。第一种解法：图解法。只能用于自控方程。第二种解法：解析法。可

2、以找到精确的解，但只能用于有限的函数形式，如线性函数。第三种解法：数值分析。使用现存软件，如Matlab的子程序ODE23和ODE45。2021/7/204二、一阶常微分方程的解法1、图解法例1：一阶线性自控常微分方程：其中a和x是常数且大于0。以y为横轴，以为纵轴。由于是y对时间的导数，因此，为正时，意味着y随着时间的变化而增加；为负则减少。2021/7/205图形为直线。在纵轴的截距为-x，在横轴的截距为-x/a。在y*点，＝0，即y不会随时间而变化，y*称为y的稳态值。当y(0)>y*,<0,y随时间而减少。反之则增加。练习：当a<0的动态。yy*当直线

3、的斜率为负时方程是稳定的：无论初始值y(0)在何处，y(t)都将回到y*。稳态值2021/7/206例2：非线性函数的动态。微分方程：其中s、α和δ都是正常数，且α<1。yy*0当时，y=0；因此，方程有两个稳态。稳态0是不稳定的，稳态y*是稳定的。2021/7/207微分方程稳定性总结对于微分方程：当时，可以找出稳态值y*。若，即函数在稳态处的斜率为正，则y是局部不稳定的。若，即函数在稳态处的斜率为负，则y是局部稳定的。2021/7/2082、解析解一些简单的微分方程解为：解为：2021/7/209求解线性常微分方程的一般方法常系数一阶线性微分方程：求解步骤

4、：第一：把所有涉及y及其导数的项放在方程的一边，把其余项放在方程的另一边；第二：两边同乘以积分因子eat并积分，左边就变成了eaty(t)对时间的导数；如果微分方程的系数是可变系数a(t)，那么积分因子为，左边变成了的导数。第三：计算出y(t)。2021/7/2010练习：求解微分方程例1：解答：移项、在两边同乘以e-t并积分：可以解出通解：y(t)=-1+bet。要想得到特解，需要知道边界条件。A:如果已知初始条件：t=0时y(t)=0。则y(0)=-1+be0=0，得到b=1。特解为：y(t)=-1+et即曲线AB:如果已知终端条件：t=1000时y为0。

5、则y(1000)=-1+be1000=0，得到b=e－1000。特解为：y(t)=-1+e－1000et即曲线Bty(t)-11000AB微分方程的解2021/7/2011练习：人口增长例2：已知人口增长率为n，计算人口数量的动态变化。解答：增长率的定义：离散形式：连续形式：人口增长：求解微分方程得到：L(t)=L(0)ent2021/7/2012三、线性常微分方程系统n个微分方程组成的系统：其中，、y(t)和x(t)是n维列向量，A是常系数的n×n方阵。用矩阵表示2021/7/2013微分方程系统解法第一种：相位图。简单地提供了定性解，但只适用于2×2系统以

6、及有稳态的自控方程；第二种：解析解。第三种：数值法。用时间消去法来计算非线性系统。2021/7/20141、相位图（1）对角系统：以y1为横轴，以y2为纵轴，平面中的每一点都代表了系统（y1,y2）在任一给定时刻的位置。相位图的目标：把由两个微分方程所隐含的动态转换为一个描述了经济随时间的定性行为的箭头系统。2021/7/2015情形1：a11>0且a22>0：系统不稳定。情形2：a11<0且a22<0：系统稳定。情形3：a11<0且a22>0：鞍点路径稳定。y1y2鞍点路径稳定的相位图稳定臂不稳定臂原点是稳态。鞍点路径既不是稳定又不是不稳定的。系统只有从稳定

7、臂(横轴)开始才会回到稳态。结论：对角系统的稳定性依赖于系数的符号。若两者都为正，系统不稳定；若两者都为负，系统稳定；若两者异号，系统是鞍点路径稳定。2021/7/2016（2）非对角系统边界条件为y1(0)=1和的轨迹是直线y2=0.06y1+1.4在直线的下方，y2<0.06y1+1.4，，即在该区域y1递增；同理，在直线的上方区域y1递减。的轨迹是直线y1=10在直线的左边，，y2递增；右边递减。将和联立求解，可以得到稳态值：y1*=10,y2*=2。2021/7/2017具有鞍点路径稳定性的非对角系统的相位图y1y2y1*=10稳定臂不稳定臂y2*=2

8、稳定臂和不稳定臂对应于两个特征向量20