经济数学2.1.10微分方程初步

《经济数学2.1.10微分方程初步》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、课题2.1.10微分方程初步（2学时）时间年月日教学目的要求1、微分方程的一般概念。2、一阶微分方程。3、儿类特殊的高阶微分方程。重点微分方程的一般概念、一阶微分方程。难点一阶微分方程。教学方法手段讲练结合。王要内容时间分酉己一、微分方程的一般概念。（30分钟）二、一阶微分方程。（30分钟）三、几类特殊的高阶微分方程。（30分钟）作业备注§2.1.10微分方程初步常微分方程是高等数学的一个重要组成部分，利用它可以解决许多几何、力学以及物理等方而的问题。本章将介绍常征微分方程的一些基本概念和常见的一些简单微分方程的解

2、法。一、微分方程的一般概念微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程。通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系。因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具。微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系。本节我们主要介绍微分方程的一些基本概念。1.引例利用函数关系，我们可以对客观事物的规律进行研究

3、，但在许多实际问题中，无法直接求得与问题有联系的那些量的函数关系，而只能借助于含有未知函数的等式求得。例如大家在高中的学习中，经常会遇到这样的问题：己知/(X)满足2f(x)+f—=x2+3—,求f(x)o上式是一个含有未知1兀丿x函数的等式，即函数方程。在此，借助于解代数方程的方法不难求得/(x)=-x2-x+---通常我们把含有未知函数3x3x的等式叫做函数方程。【例1】一平面曲线上任意一点P(x,y)处的切线的斜率等于该点处横坐标的平方，且曲线过点A(l,l),求此曲线方程。解：设所求的曲线议程为丿=/（兀）

4、，由导数的几何意义可知：曲线在点P（兀,丿）处的切线的斜率k产孚,依题意几兀）应满足方程dxj（1）dx且满足：当兀=1时，＞=1。此条件可写成此勻=1⑵将（1）式化为dy=x1dx,即y=Lx^C（3）•3其中C是任意常数。将条件（2）代入（3）式，有l=-xl3+C,C=-o所以所求曲线方程为y=-x2+-3333例1中（1）式也是函数方程，但与前例不同的是，（1）式中含有未知函数的导数，我们称这种方程为微分方程。1.微分方程的定义定义1含有未知函数的导数（或微分）的方程叫做微分方程。未知函数是一元两数的微分方

5、程叫做常微分方程。本书中只介绍常微分方程的有关知识，故以后所述的微分方程即指常微分方程。例女口与-3©+2y=0dx，dx以及兽*欽+宀『都是微分方程。与（1）式不同的是它们分别出现了未知函数的二阶与三阶导数。定义2微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数叫做微分议程的阶。若一个微分方程的阶为〃，则称这个微分方程为〃阶微分方程。1.微分方程的解在例1中将（1）式中的I7未知函数y用已知函数y=-x3+-代替，则(1)式两边17成为恒等式，我们可把尸丄x3+-叫做方程(1)的一个解。•33定义3如果把一个函数y=/(x

6、)代入微分方程后，方程两边成为恒等式，那么就称这个函数为该微分方程的一个解。求微分方程的解的过程，叫做解微分方程。在例子中，(3)式y=丄疋+C也是方程(1)的一-解，其3含有一个任意常数C,它是该方程的全部解的共同表达式，故称为该微分方程的通解。又如I尸C哥+C?戶(g，g是任意常数)是方程与_3芈+2y=0的解，并且它含有两个独立的任意常数。CIXCIX以后将知道，它是该方程的全部解的共同表达式，故也称为这个方程的通解。定义4如果一个微分方程的解中含有独立的任意常数,并且任意常数的个数等于该微分方程的阶数，那么

7、这个解叫做该微分方程的通解。通解中的任意常数每取一组特定的值所得到的解，叫做该微分方程的一个特解。在例子中通过条件y

8、.v=1=l确定了通解y=-x3^C是的常数c=

9、,我们把条件〉［曰=1叫做该方程初始条件。一般地，一阶微分方程的初始条件为：儿=心二歹0；歹0二北二、一阶微分方程微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同。从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法。本节我们将介绍可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程。一阶微分方程有许多种形式，这里我们只研究可化为下列形式的一阶微分方(一)、可分

10、离变量的微分方程一般地，我们把形如^=M(x)N(y)(1)dx或(x)N]+(兀)他(y)dy=0(2)的方程叫做可分离变量的一阶微分方程，简称可分离变量的方程。对可分离变量的方程我们可采用“分离变量”、“两边积分”的方法求得它的解。如对方程(1)可按下列步骤求解：(1)分离变量当N(y)H0时，方程(1)可化为dy-M[x^dx(2)两边积分dyN(y)