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1、一、可分离变量的微分方程二、齐次方程第二节一阶微分方程三、一阶线性微分方程四、小结与思考题一、可分离变量的微分方程与分离变量法设有一阶微分方程则称方程为可分离变量的微分方程,其中都是连续函数.根据这种方程的特点,我们可通过积分来求解.设用除方程的两端,用乘以方程的两端,以使得未知函数与自变量置得,两边积分,得如果则易知也是方程的解.求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法.上述例1求微分方程解分离变量两端积分从而记则得到题设方程的通解例3解分离变量得得求微分方程的通解.的各项,先合并及设两端积分得于
2、是则得到题设方程的通解记注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中,用它除方程两边,这样得到的通解,不包含使的特解.但是,其失去的解仍包含在通解中.如在本例中,我们得有时如果我们扩大任意常数的取值范围,则到的通解中应该但这样方程就失去特解而如果允许则仍包含在通解中.的前提下,我们在假定例4某公司年净资产有(百万元),并且资产本身以每年5%的速度连续增产,同时该公司每年要以30百万元的数额连续支付职工工资.(1)给出描述净资产的微分方程;(2)求解方程,这时假设初始净资产为(3)讨论在三种情况下
3、,变化特点.解(1)利用平衡法,即由净资产增长速度资产本身增长速度职工工资支付速度得到所求微分方程解(1)得到所求微分方程(2)分离变量,得两边积分,得(为正常数),于是将代入,得方程通解:上式推导过程中当时,或通常称为平衡解,仍包含在通解表达式中.(3)由通解表达式可知,当百万元时,产额单调递减,公司将在36年破产;净资万元时,公司将收支平衡,当百将资产保持在600百万元不变;当百万元时,不断增大.公司净资产将按指数二、齐次方程的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式,得可分离变量的方程
4、1.定义)(xyfdxdy=形如.)(xuufdxdu-=即,ln)(1xCuufdu=-ò得例5解原方程变形为求解微分方程令则故原方程变为即分离变量得,dxduxudxdy+=齐次方程分离变量得两边积分得或便得所给方程的通解为回代例6求下列微分方程的通解:解原方程变形为令则代入原方程并整理两边积分得即变量回代得所求通解课堂练习求解微分方程解,dxduxudxdy+=则微分方程的解为一阶线性微分方程的标准形式:上面方程称为齐次的.上面方程称为非齐次的.例如线性的;非线性的.三、一阶线性微分方程齐次方
5、程的通解为1.一阶线性齐次方程一阶线性微分方程的解法由分离变量法2.一阶线性非齐次方程讨论两边积分即非齐次方程通解形式对照),()(xvdxyxQ为设òò=-dxxPCey)(齐次方程的通解常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.作变换一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解解例7第一步，求相应的齐次方程的通解.2的通解求方程xxydxdy=-解例7第二步，常数变易法求非齐次方程的通解.2的通解求方程xxydxdy=-解例7例8解方程化为
6、其中.02)6(2的通解求方程=+-ydxdyxy所以四、利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为.)(92的通解求例yxdxdy+=例10用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为贝努利方程,2dxdyydxdz=则解分离变量法得所求通解为,dxdyxydxdz+=则解代入原式分离变量法得所求通解为另解（一阶线性微分方程）,1-=dxdudxdy则.yxdydx+=方程变形为五、小结1.可分离变量的微分方程:分离变量法（1）分离变量;（2）两端积分-------隐式通解.可分离变量的
7、微分方程解法：3.线性非齐次方程2.齐次方程齐次方程的解法线性非齐次方程的解法思考题1.求解微分方程2.方程是否为齐次方程?思考题解答为所求解.2.方程两边同时对求导:原方程是齐次方程.练习题一、求下列微分方程的通解:1.0tansectansec22=+xdyyydxx；2.0)()(=++-++dyeedxeeyyxxyx；3.0)1(32=++xdxdyy.二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:1.xdxyydyxsincossincos=,40p==xy；2.0sin)1(cos=++-
8、ydyeydxx,40p==xy.五、求下列齐次方程的通解:1.0)(22=-+xydydxyx；2.0)1(2)21(=-++dyyxedxeyxyx.六、求下列齐次方程满足所给初始条件的特解:1.1,02)3(022==+-=xyxydxdyxy；2.,0)2()2(2222=-++-+dyxxyydxyxyx11==xy.七、求下列微分方程的通解:1.xexyysincos-=+¢；2.0)ln(ln=-+dyyxydxy；3.02)6(2=+-ydxdyxy.
