边值问题的研究

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1、西北农林科技大学理学院应用数学系《微分方程数值解》结课论文论文题目边值问题的研究2016年1月14日一•问题重述对于下列边值问题:["（o）=u（iy=o其中A为学号的倒数第2位，B为学号的倒数第1位。⑴差分：截断误差、稳定性、收敛半径、递推（隐式）或方程组（显式）（2）有限元：冈！J度矩阵、算法步骤及代码二•问题分析题目明确指出使用差分方法和有限元解法。什么都不管先构造一种差分格式,然后对求解区域做划分将问题离散化，从微分方程的定解问题转化为求线性代数方程的解，以便于能够使用计算机进行计算。在这里选用的是中心差分法，同时将边界进行处理”同时用Ritz有限元法和Galerkin法有限元

2、法尝试去得到结果，最后再去比较两种解法所得到结果的精确性，分析相容性和截断误差等等。三•解题过程1•首先建立差分格式/考虑两点的边值问题/由题目知道〃=1,g=0J（兀）=9*x+7建立中心差分格式如下(1.1)(1.2)Lu=一-{p—)+qu=

3、=^(G+xJ(i=l,2,・・・,N)，称为半整数点。由节点a=x0

4、阶微商的结果。这个方程就是中心差分格式。式(1.4)用方程组展开：卞內2%+»fe+几2)+911坷尹P3/2l{2=f帀Pk-/2Uk-+»(以+1/2+必一1/2)+如Uk以+1/2色+1=/1力2Pn—31州一2+L乔(Pn—I/2+Pn—3/2)+弘一1]%N—1—护Pn~vVn=/n~这是一个以吗川2，……，3为未知量的线性方程组。到此为止,中心差分格式展开完毕，接下来处理方程(1.1)将方程(1.1)在节点离散化”由泰勒公式展开得:弘(兀+1)-2“(托)+班兀1)h2+t/2w(x)dx2°”)所以截断误差为下一步是分析差分格式的稳定性差分格式的截断误差:。（胪）

5、，而边界条件的截断误差为0（/2）收敛性和稳定性是从不同角度讨论差分法的精确情况，稳定性主要是讨论初值的误差和计算中的舍入误差对计算结果的影响，收敛性则主要讨论推算公式引入的截断误差对计算结果的影响•使用既收敛有稳定的差分格式才有比较可靠的计算结果,这也是讨论收敛性和稳定性的重要意义.截断误差:厶心）-［如,即h2-（心）一ww）=-—«（4）（久），-丘［兀心，陥1］12差分方程组的解％满足：%

6、

7、0

8、}+*（心-°）⑺-xlfl）凜幼九

9、,加=1,2,…,N-1其中a、b代表边界点，°、“代表边界点的取值。U（h2max小4）（兀）

10、,加=1,2,…，N_1上式给出了

11、差分方程的解的误差估计，而且表明当差分解收敛到原边值问题的解，收敛速度为力2。2接下来是有限元的解法从Ritz法出发，单元刚度矩阵为：df1=[MJP（Xi+力g）+如（兀_1+/话）（1-b]〃歹，1pg+hQ+%qg+姑）F]dg,=421=[[一库"（兀・]+/zg）+hqg+/话）§（1-g）]dg.按规则组装成总刚度矩阵K=2K⑴。/=1令讣其中理f[/（S+姑）（1—幻百，/⑴訥打（和+滋疋時，以及b=（%E，…也y,勺=严+齐⑵上2=0+炉，…心=/化则有限元方程为Ku=b.从Galerkin有限元法岀发,Galerkin有限元方程为：乞i@,（p）i”=（f（Pjdx,

12、j=,2,・・・，m/=1系数矩阵第j行只有三个非零元素，即M（pj_、（p）=][一力7卩（兮.]+/?/）+/?卅（厂_]+hg）（l-g）g]dg,d（%0/）=[吋•一i+力&）+切（切+忙）鬥d$+[[硝0（®+勺詁）+/如qg+包詁）（1-§门州，a®z（p）=][-/诂“（®+/2田歹）+你禺（®+勺+g）（l-g）g]dg,这里丿•=2,3,…,〃-1.第一行只有两个非零元素：,©）,a®、,0）•第n行只有两个非零元素：和