挖掘数形结合，提高解题能力

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1、挖掘数形结合，提高解题能力徐国英摘要：数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学（恩格斯语）。“数”与“形”是数学的基木研究对象，它们之间存在着对立统一的辩证关系。在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，这就是数形结合的思想。因此，我们根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义又揭示出隐含在它内部的几何背景，启发思维，一方面，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，巧妙和谐地结合起来,

2、不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要途径。关键词：数形结合；提高解题能力；学牛在高中数学中，数形结合是一条重要的数学原则。作为解题方法，“数形结合”实际上包含“以数助形”和“以形辅数”两方面的含义：一方面对“形”的问题，引入坐标系或寻找其数量关系式，用“数”的分析加以解决；另一方面对于数量间的关系问题，分析其几何意义，借助形的直观来解。在平面解析几何和立体几何中体现的明显一些，而在高中数学的其他内容中也有着广泛的应用。如下面一些例了：一、数形结合思想在解决集合问题中的应用在集合的子集问题与集合的交、并、补运算中，我们经常运

3、用Venn图与数轴来解决。例：L.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，求喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数。分析：我们可用圆圈A、B分别表示喜爱篮球运动的人数和喜爱乒乓球运动的人数（如右图），则A、B的公共部分表示既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数，设为，则有，解得。所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为二12・本题利用Venn图就可以把班级里的4类人的人数分的很清楚，求解时便捷准确。二、数形结合思想在解决函数问题中的应用尤为突出1•利用数形结合思想来解决函数的最值问题。例2.求函数的单调增区间与最小值。分析：根据二次函数的作图方

4、法，可得函数图象，如图：所以由图可知：函数的单调增区间为[—1,0）,[1,3]o当时，取最小值・我们在研究一个新的函数时，通常是设法先画出它的图象，然后根据图象就可以直观的研究它的性质。2•利用数形结合思想还可以解决方程和不等式问题解决方程和不等式问题时，我们往往需要将原题的意思进行等价转化，联系上相应的函数，才能利用其图象解决问题。这就需要时刻培养学生的数形结合思想，一旦遇到疑难繁琐的问题时，就要联系上相应的图形来解决。例3•求方程的解的个数。分析：此方程解的个数转化为的图象与的图象的交点个数。因为，所以，所以。在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图，可直观地看出两曲线有3个交点

5、。例4.已知实数x、y满足不等式组，求函数的值域。分析：由解析几何知识可知，所给的不等式组表示圆的右半圆(含边界)，可改写为y+3=z(x+1),把z看作参数，则此方程表示过定点P(-l,-3),斜率为z的直线族.则所求问题的几何意义是：求过半圆域x2+y2≤4(x≥0)内或边界上任一点与点P(-l,-3)的直线斜率的最大、最小值.由图显见，过点P和点A(0,2)的直线斜率最大，・过点P向半圆作切线，切线的斜率最小•设切点为B(a,b),则过B点的切线方程为ax+by=4・又B在半圆周上，P在切线上，则有解得因此。综上可知函数的值域为。从以上这些例子我们可以体会到在数形转化结

6、合的过程中，必须遵循下述原则：(1)等价性原则。在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞•有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一•般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。(2)双向性原则。在数形结合吋，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的。例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。(3)简单性原则。就是找到解题思

7、路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单•而不是去刻意追求一种流性的模式一一代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。三、多媒体技术为数形结合的实施架设了桥梁对于一些较复杂、抽象、需有一定想象能力、教师只用嘴和笔说不清的问题，借助于多媒体将数学实验引入课堂教学，可以活跃课堂气氛，减轻教学负担，激发学生的探究欲望，培养学生观察、归纳、猜想、发现的能力。多媒体技术使数学的实验手段丰