1.2.1几个常见函数的导数

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1、§1.2导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式1学习目标1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．知识点一几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2x11f(x)＝xf′(x)＝－x21f(x)＝f′(x)＝x知识点二基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝

2、cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlna(a>0)f(x)＝exf′(x)＝ex1f(x)＝logaxf′(x)＝xlna(a>0且a≠1)1f(x)＝lnxf′(x)＝x11．若y＝，则y′＝2×2＝1.(×)2．若f′(x)＝sinx，则f(x)＝cosx．(×)133．f(x)＝x3，则f′(x)＝－x4.(√)类型一利用导数公式求函数的导数例1求下列函数的导数．π1x2x(1)y＝sin6；(2)y＝2x；(3)y＝lgx；(4)y＝x；(5)y＝2cos22－1.考点常数、幂函数

3、、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数解(1)y′＝0.111(2)y′＝2xln2＝－2xln2.1(3)y′＝xln10.x2(4)∵y＝x＝，33∴y′＝()′＝2＝2.x(5)∵y＝2cos22－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.反思与感悟(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．15－4如y＝x4可以写成y＝x，y＝x3可以写成y＝等，这样就可

4、以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．1跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝x3，则f′(－3)等于()A．81B．2431C．－243D．－272(2)已知f(x)＝lnx且f′(x0)＝0，则x0＝.考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数答案(1)D(2)1－3解析(1)因为f(x)＝x，3－4所以f′(x)＝－3x＝－x4，1所以f′(－3)＝－错误!＝－27.(2)因为f(x)＝lnx(x>0)，1所以f′(x)＝x，12所以f′(x0)＝x0＝

5、0，所以x0＝1.类型二利用导数公式研究切线问题1例2已知曲线y＝f(x)＝，y＝g(x)＝x，过两条曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x轴所围成的三角形面积．考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用1x＝1，解由，得y＝1，得两曲线的交点坐标为(1,1)．1两条曲线切线的斜率分别为f′(1)＝2，g′(1)＝－1.1易得两切线方程分别为y－1＝2(x－1)，y－1＝－(x－1)，11即y＝2x＋2与y＝－x＋2.其与x轴的交点坐标分别为(－1,0)，(2,0)，13所以两切线与x轴所围成的三角形面积为2×1×

6、2－(－1)

7、

8、＝2.反思与感悟解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用切点处的导数是切线的斜率、切点在切线上及切点在曲线上这三个条件联立方程解决．跟踪训练2已知y＝kx是曲线y＝lnx的一条切线，则k＝.考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用1答案e解析设切点坐标为(x0，y0)，1由题意得＝x0＝k，①又y0＝kx0，②而且y0＝lnx0，③1由①②③可得x0＝e，y0＝1，则k＝e.例3求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用2解设切点坐标为(x0，x0)，依题意知与直线x－y－

9、2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短．1∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝2，1∴切点坐标为4，2∴所求的最短距离d＝－2＝8.反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3已知直线l:2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求

10、一点P，使△ABP的面积最大．考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用解由于直线l:2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，∴

11、AB

12、为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大，设P(x0，y0)为切点，过