专题11函数与方程（教学案）

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1、专题11函数与方程(教学案)1.考查函数零点的个数和取值范围；2.利用函数零点求解参数的取值范围；3.利用二分法求方程近似解；4.与实际问题相联系，考查数学应用能力.1.函数的零点(1)定义：如果函数y=fix)在实数a处的值等于零，即./(«)=0,则a叫做这个函数的零点.(2)变号零点：如果函数图象经过零点吋穿过x轴，则称这样的零点为变号零点.(3)几个等价关系方程/(x)=0有实数根o函数y=f{x)的图彖与x轴有交点o函数y=f{x)有零点.2.零点存在性定理如果函数y=j{x)在区间［a,b］上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即•他z)/(b)<0,

2、则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x()W(g,b),使/(xo)=O.3.用二分法求函数.心)零点近似值的步骤第一步,确定区间［a,b］,验证；第二步，求区间(a,b)的中点ci；第三步，计算/•)：⑴若/(5)=0,则°就是函数的零点；⑵若.@)/(5)<0,则令b=c^此时零点xoW(a,cj)；(3)若/(b)/(ci)v0,则令a=ci(此时零点xoe(ci，b))；笫四步，判断也是否满足给定的精确度；否则重复第二、三、卩q步.高频考点一函数零点个数的判断x2—2,x<0,例1、⑴函数Ax)=k八，的零点个数是.2a~6+lnx,x>0(2)函数Xx

3、)=2v

4、log0.sx

5、-1的零点个数为()A.1B.2C・3D・4【方法规律】函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令/(x)=0,有儿个解就有儿个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间［a,旬上是连续不断的曲线，且几7)：/(方)<0，再结合函数的图彖与性质确定函数零点个数；(3)利用图彖交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.【变式探究】^)=2sinxsin(^+^-x2的零点个数为・高频考点二、函数零点所在区间的判断例2>(1)若a

6、()A.(a,b)和(b,c)内B.(—co,g)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+8)内D.(—oo,a)和(c,+oo)内(2)设Xx)=lnx+x-2,则函数/(x)的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【方法规律】确定函数./(x)的零点所在区I'可的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=f{x)在区间［a,切上的图象是否连续，再看是否有/(aAb)<0.若有，则函数y=f{x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图彖，观察图象与x轴在给定区I'可上是否有交点来判断.I—2【变式探究】已

7、知函数Xx)=lnx-Q)的零点为必，则必所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)高频考点三、函数零点的应用例3、己知定义在R上的偶函数沧)满足沧一4)=.心)，且在区间［0,2］上沧)=兀，若关于x的方程心)=10财有三个不同的实根，求a的取值范围.【方法规律】己知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法：(1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系屮，画出函数的图象，然后观察求解.［cx+a9x<0,【变

8、式探究】(1)(已知函数・心)=仁(a(gWR)，若函数・/W在R上有两个零点，则a的取值范围是1x>0()A.(—co,—1)B・(—oo,0)C.(—1,0)D・［—1,0)

9、x

10、,xm,其屮加>0.若存在实数b,使得关于x的方程有三个不同的根，则加的取值范围是.高频考点四、二次函数的零点问题例4、已知f(x)=x2+(a2-l)x+(a-2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.【感悟提升】解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二

11、次方程的判别式及根与系数之I'可的关系；(3)利用二次函数的图彖列不等式组.【变式探究】若函数f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(一1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是()A.(—£B(-£I1.[2016髙考新课标1卷】函数夕=2兀2一』在[_2,2]的图像大致为(A)(C)2.[2016高考天津理数】己知./(兀)是定义在R上的偶函数，且在区间(―,0)上单调递增.若实数。满足/(2M)>/(-V2),则q的取值范围是.3.【2016高考天津理数】已知函数/(x