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1、函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点等价关系判断函数零点或相应方程的根的存在性例题分析课堂练习小结布置作业问题导入已知:二次函数试问：（1）x为何值时，y等于0？（2）画出这个函数的图像，求该函数图像与x轴的交点坐标。问题：二次函数的图像与x轴的交点坐标与方程的解有什么关系？思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1
2、无实数根函数的图象与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2－2x+3观察函数与x轴的交点与对应方程根的关系:方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象判别式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0函数的图象与x轴的交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数
3、根x1、x2二次函数的图象与x轴的交点与相应的一元二次方程的根的关系，即与x轴的交点的横坐标即为方程的根．可以推广到一般情形，为此先给出函数零点的概念．函数的零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点．如的零点有－１，３．的零点有１．没有零点．的零点有 ．的零点有１．对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点函数零点的定义：等价关系问题：①指出函数的零点。②找出一个函
4、数的零点所在的区间，分析这个区间两个端点的函数值得关系一般地，对于不能用公式求根的方程，如何确定方程f（x）＝0的根的个数？如何判断方程f（x）＝0在区间[a，b]上是否有解？如何判断函数y＝f（x）在区间[a，b]上是否有零点？从刚才的问题能得到什么启示？观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:.....xy0－132112－1－2－3－4－24我们发现：函数 在区间 上有零点，在区间 上有零点．请计算：思考：任意画几个函数图象，观察图象看是否有同样的结果？即：，函数在 上有零点；，函数在 上有零
5、点．如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定区间内存在零点。xy0ab..xy0abxy0ab....由表3-1和图3.1—3可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点。由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点。解：用计算器或
6、计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）和图象（图3.1—3）例题1求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。－4－1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972123456789xf（x）.........x0－2－4－6105y24108612148764321923练习：1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）－x2＋3x＋5＝0；（2）2x(x－2)＝－3；（3）x2＝4x－4；（4）5x2＋2x＝3x2＋5.2.利用函数的图象，指出下列函
7、数零点所在的大致区间：（1）f(x)=－x3－3x+5；（2）f(x)=2x·ln(x－2)－3；（3）f(x)=ex－1+4x－4;（4）f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x.有没有有没有有没有有没有xy01(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5,作出函数f(x)的图象，如下：.....xy0－13214862－24它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根。对了，你真棒！1(1)－x2＋3x＋5＝01(2)解：2x(x－2)＝－3可化为2x2－4x＋3＝0，令f(x)=2x2－4x
8、＋3,作出函数f(x)的图象,如下：xy0－132112543.....它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根。对了，你真棒！1(2)2x(x－2)＝－31(3)解：x2＝4x－4可化为x2－4x＋4＝0，令f(x)=x2－4x＋4，作出函数f(x)的图象，如下：.....它与x轴只有一个交点，所以方
