专题07平面向量（基础篇）-2017年高考数学备考艺体生百日突围系列

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1、《2017艺体生文化课-百Fl突围系列》专题7平面向量平面向量的坐标运算【背一背基础知识】1.平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与;i轴、y轴方向相同的两个单位向量,，/作为基底.对于平面内的一个向量有且只有一对实数y使a=xi+yj,把有序数对(x,y)叫做向量$的坐标，记作a=(x,y),其中x叫做a在/轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.②设OA=xi+yj,则向量04的坐标(兀,y)就是终点昇的坐标，即若.OA=(%,y),则力点坐标为(x,y),反之亦成立(。是坐标原点).2.向量的运算(1)加法、减法、数乘运算(2)向量坐标的求法已

2、知仏】,yi),〃匕2,比)，则AB=(x2-xl9y2-yl),即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.3.平面向量共线的坐标表示设a=(x,yi),b=lx?,必)，其中bH0,则a与〃共线Oa二兄方Q兀］儿一兀2)1=。・.4.平面向量的有关运算(1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a//b^a=Ab.两个非零向量垂直的充要条件：日丄bo日•6=0<=>

3、a+A

4、=a~b.⑵若a=(x,y),贝ij.

5、a

6、=Va-a=yjx24-y2⑶若/4(x,yj,〃(加，乃)，则J(%2—码尸+(旳一Vi)2•(4)若a=(^i,yj,b

7、=3,乃)，〃为日与&的夹角，贝ijcos&二abL^Lbi【讲一讲基本技能】1.必备技能：(1)向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原―►点。为起点的向量勿的坐标与点A的坐标相同.⑵若日=d,门)，b=也乃)，则a//b的充要条件不能表示成兰=把，因为也乃有可能等于0,所以X2yz应表示为山乃一您刃=0.同时，a//b的充要条件也不能错记为：X1X2—口乃=0,Xy—x?.y?.—^等.2.典型例题IL(6/+b)丄b，则m=(例1【2016高考新课标2理数】已知向量方=(1申)匸二(3,-2),(A

8、)-8(B)-6(C)6(D)8例2【2016高考新课标2文数】已知向量ar(//?,4),Zr(3,-2),Ma//b,则〃尸【练一练趁热打铁】1.【2016高考新课标1文数】设向量沪(/对1),Zf(1,2),且日丄&则尸2.己知向量d二(2」)，h=(1厂2),若ma+nh=(9,-8)(m.ng/?),则m-n的值为平面向量的数量积【背一背基础知识】1•两个向量的夹角—►—A⑴定义：已知两个非零向量日和6，作OA=a,OB=b,则ZAOB=0叫做向量日与b的夹角.(2)范围：向量夹角0的范围是0。W0W18O。，8与b同向时，夹角0=0。；$与b反

9、向时，夹角0=180.°..(3)向量垂直：如果向量日与b的夹角是90。，则日与b垂直，记作2丄方.2.平面向量数量积的意义(l)a,b是两个非零向量，它们的夹角为0,则数a•b•cos0叫做$与b的数量积，记作$•方,即a・b=a•

10、b・cos0规定0•a=0.当a丄〃时，〃=90°,这时a•b=0.(1)$・b的几何意义：a•b等于日的长度日与b在a的方向上的投影bcos0的乘积.1.向量数量积的性质(1)如果e是单位向量，则a•e=e•a=a

11、cos(a,e).(2)a丄屁>曰•方=0且a•b=0=>a丄方.(2)a•a=

12、a,Ia

13、=yla•a.(4)cos(a,方〉=_ttt.・(5)Ia•A

14、

15、I.1^1*b—2.数量积的运算律(1)交换律a•b—b•a.(2)分配律(e+方)•c=a•c+b•c.(3)对人WR,A(a•Z?)=(4a)•b=a•(入6).3.数量积的坐标运算设a=(日i,32),b—(6,bi),则(l)a•b=ci、b+a2b2.(2)a丄阳纠b】+a2b2=0.(3)

16、a=Jaj.⑷cos3,b=I硝+学Ja：+q；•Jbj+b；【讲一讲基本技能】1.必备技能：(1)数量积的运算要注意£=0时，a・b=0,但a•b=0时不能得得到a=.O或

17、〃=0,因为8丄b时，也有a・b=0.(2)若£、b、c是实数，则；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量$、b、c满足曰・b=a・c3H0),则不一定有方=c,即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量.(3)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：①=a=日・ax②a±b2=a±2a•b+b；③若a=(x,y),贝ij

18、a

19、=yjx24-y2.(4)己知日与方为不共线向量，且日与b的夹角为(),则①日・6>0<=>0°<^<90°；②日•方=0o&=90°；③“笊0o90°<〃<180°.特别的：在利用两向量

20、的夹角公式判断夹角的取值范围时，要注意两向量是否共线.(5)证明线