专题06 平面向量的运算（基础篇）-2019年高考数学备考艺体生百日突围系列（原卷版）.doc

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1、《2019年艺体生文化课--百日突围讲练通》专题六平面向量的运算平面向量的线性运算【背一背基础知识】1.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算[来源:学科网ZXXK]三角形法则平行四边形法则(1)交换律：；(2)结合律：减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则2.向量的数乘运算及其几何意义（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①

2、λa

3、＝

4、λ

5、

6、a

7、；②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.（2）运

8、算律：设λ，μ是两个实数，则：①；②；③.【讲一讲释疑解惑】1.必备技能：（1）常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．（2）找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．2.典型例题例1.【2018年新课标I卷理】在△中，为边上的中线，为的中点，则A．B．C．D．例2.设是不共线的两个向量，已知，，则()A．三点共线B．三点共线C．三点共线D．三点共线平面向量的坐标运算【背一背基础知识】1.平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与

9、x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使a＝xi＋yj，把有序数对叫做向量a的坐标，记作a＝，其中叫做a在x轴上的坐标，叫做a在y轴上的坐标．②设＝xi＋yj，则向量的坐标就是终点A的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为，反之亦成立(O是坐标原点)．学-科网2．向量的运算(1)加法、减法、数乘运算(2)向量坐标的求法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a与b共线a=b．.4

10、．平面向量的有关运算(1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb.两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔

11、a＋b

12、＝

13、a－b

14、.(2)若a＝(x，y)，则.(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则.(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则.【讲一讲释疑解惑】1.必备技能：(1)向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O为起点的向量的坐标与点A的坐标相同．(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以

15、应表示为x1y2－x2y1＝0.同时，a∥b的充要条件也不能错记为：x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等．2.典型例题例1.【2018年文北京卷】设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若，则m=_________.例2.【2017山东，文11】已知向量a=（2,6）,b=,若a

16、

17、b,则.平面向量的数量积【背一背基础知识】1.两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．(2)范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.(3)向量垂直：如果向量

18、a与b的夹角是，则a与b垂直，记作ab.2．平面向量数量积的意义(1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数

19、a

20、·

21、b

22、·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝

23、a

24、·

25、b

26、·cosθ规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.(2)a·b的几何意义：a·b等于a的长度

27、a

28、与b在a的方向上的投影

29、b

30、cosθ的乘积．3．向量数量积的性质[来源:Z

31、xx

32、k.Com](1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝a

33、cos〈a，e〉．(2)a⊥b⇒a·b＝0且a·b＝0⇒a⊥b.(3)a·a＝

34、a

35、2，

36、a

37、＝.(4)cos〈a，b〉＝.(5)

38、

39、a·b

40、

41、a

42、

43、b

44、.4．数量积的运算律(1)交换律a·b＝b·a.(2)分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(3)对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．5．数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则(1)a·b＝.(2)a⊥b⇔.(3)

45、a

46、＝.[来源:学科网](4)cos〈a，b〉＝.【讲一讲释疑解惑】1.必备技能：（1）数量积的运算要注意a＝0时，a·b＝0，但a·b＝0时不能得得到a＝0或b＝0，因为a⊥b时，也有a·b＝0.（2）若a、b、c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量，