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1、直线的交点坐标与距离公式解答基础1.已知直线方程为(2+r)x+(1-2r)y+4-3r=0,求证：不论r取何实数值，此直线必过定点.证明：直线方程(2+r)x+(1-2r)y+4・3r=0,化为r(x-2y-3)+2x+y+4二0,2x+y+4二0・・・不论r取何实数值，此直线必过定点(-1,-2).3.已知直线1的方程为kx・y+2k+2二0(1)求证直线1过定点.(2)若直线1在轴上的截距为4,求k的值.解：(1)证明：kx-y+2k+2二0化为k(x+2)+(2-y)=0,2-y=0令(yi，解得x=-2,y二2.・・・直线1过定点P(-2,2).(
2、2)由kx-y+2k+2二0,令x二0,解得y二2k+2二4,解得k二1.Ak=l.6.已知直线1过定点A(1,2),与x轴交点在(-3,0)和(3,0)两点之问，求直线1在y轴上的截距的取值范围.解：•・•直线1过定点A(1,2),设直线1的斜率为k,贝ij直线1的方程为：y・2二k(x・1),令y=0,则x=1,k由直线1与x轴交点在(・3,0)和(3,0)两点之间，.・・-3<1-2<3,解得：k<-1,或k>丄，k2令x=0,贝ijy二2・k,则y<9,或y>3,2即直线1在y轴上的截距的取值范围为(・8,色)u(3,+8)7.己知ZiABC的顶点分
3、别为八(1,y),B(-3,8),C(-2,3),AB边上的中点为M,直线AM的斜率为3,求y的值及线段AM的长.解:VAABC的顶点分别为A(1,y),B(-3,8),C(-2,3),AB边上的中点为M,直线AM的斜率为3,v—8・・・上」二3,解得y二20,1+3AM(-1,14),■•・IAMI=^(1+1)2+(20-14)2=2V10.6.平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,1),B(4,-2),C(7,0),证明：AABC是等腰直角三角形.证明：点A(2,1),B(4,・2),C(7,0),可得AB
4、=&2-4)J(l+2)正.I也I=寸(2-
5、？)2+(1-0)2二履.IBCI二寸(4-7)2+(-2-0)2二届，可得
6、AB
7、=
8、BC
9、^
10、AC
11、・・••三角形是等腰三角形.X
12、AB
13、2+
14、BC
15、2=
16、AC
17、2.・••三角形是直角三角形.综上三角形是等腰直角三角形.7.已知点A(3,6),在x轴上的点P与点A的距离等于10,求点P的坐标.解：设点P(X,0),由题意可得：^y(x-3)2+(0-6)解得x=ll或X=-5,点P的坐标：(11,0)或(・5,0).12.已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分别是A(0,0),B(3,0),C(2,丽)和D(l,馆),求它的中位线长.解：•・•梯形ABCD的
18、四个顶点的坐标分别是A(0,0),B(3,0),C(2,<3)和D(1,蠢,AAB=(3,0),CD=(-1,0),ACD,•，线段AD的中点E(寺,省),线段BC的中点F(_
19、,爭),・・・梯形ABCD的中位线长
20、EF
21、二2=2.13.己知直线h：kx-y-2k+3-0,12：(2k-1)x-2ky-2=0(1)证明直线h过定点；(2)若1】丄I,求直线12的一般方程.解：(1)由直线h的方程可得：k(x-2)・y+3二0・・•对keR上式恒成立，・・・$2~°=>(X~2故直线h过定点(2,3)［一y+3二0y=3(2)Th丄I2,・・・k(2k・1)+
22、(・1)(・2k)=0从而k二0或k二-丄，2故当k二0时，直线A：x+2二0,当k二■丄时，直线12：2x・y+2二0.216.已知三角形ABC的顶点坐标为A(-1,5),B(-2,-1),C(4,7),求BC边上中线AM的长和AM所在的直线方程.解：由题意BC的中点M(1,3),故皿吋(1+1)5(3-5)◎忑.AM所在的直线方程为：厂§仝即x+y_4=0>x-11+118.己知直线li：2x+y+2=0和b：3x+y+l=0(I)求过直线h和I2的交点且与直线b2x+3y+5=0平行的直线方程；(II)若直线S3x+2y+2=0与直线h和I2的分别交于
23、点A、B,求线段AB的长.解：(【)rti
24、2x+y+2=0,解得交点坐标为(1,-4)(3x+y+l二0・・•所求直线与直线2x+3y+5=0平行，则所求直线方程的斜率为-Z3由点斜式方程可得y+4二-2(x-l),即2x+3y+10二0,・・・直线方程为2x+3y+10二03(II)由『x+y+2=0,解得(X=-2(3x+2y+2二01尸2・•・交点A坐标为・2,2),由(3旳+1二0[3x+2y+2=0，解得x=0・•・交点B坐标为(0,・1),・
25、AB
26、=yl(-2-0)2+(2+l')2=V1319.求经过两条直线53x+4y・2二0与12：2
27、x+y+2二0的交点P,且垂直于直线13：乂-丫-1
