直线的交点坐标与距离公式

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1、直线的交点坐标与距离公式　　　　　　　　　　　　　　　　　撰稿：赵代立　　责编：丁会敏一、目标认知学习目标：　　1．掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标.　　2．掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离.重点：　　1．判断两直线是否相交，求交点坐标；　　2．两点间距离公式的推导.难点：　　1．两直线相交与二元一次方程的关系；　　2．应用两点间距离公式证明几何问题.二、知识要点梳理知识点一：直线的交点：　　求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方

2、程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.　　要点诠释：　　求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数.知识点二：两点间的距离公式　　两点间的距离公式为　　.　　要点诠释：　　此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.知识点三：点到直线的距离公式　　点到直线的距离为.　　要点诠释：　　此公式常用于求三角形的高、两平行间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.点到直线

3、的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离.知识点四：两平行线间的距离　　本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为.　　要点诠释：　　(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一　　　般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；　　(2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直　　　线中x，y的系数要保持一致.三、规律方法指导　　应用解析思想解决问题的基本步骤

4、：　　第一步：建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量.坐标系的选择是否适当是影响解题过程简捷与否的重要因素，坐标系建立的不恰当会人为的扩大题目的计算量.在建立坐标系时一般以特殊的点、线作为坐标系的原点和坐标轴，建立坐标系时，对图形的特性应用的越充分，题目中出现的变量就会越少，运算过程也会越简便.　　第二步：进行有关的代数运算.通过各点的坐标、各图形方程之间的各种运算，求得所需结果的代数形式.通过运算可求得各个点、直线间的距离、角度、直线的斜率、截距、直线方程及两直线的交点等.　　第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系.通过计算结果说明某几何结论成立.经典例题透析类型一：求交点坐标　　

5、1．判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标.　　　　思路点拨：　　判断两直线的位置关系，实质上就是两直线方程组成的方程组是否有解.　　解析：　　(1)解方程组，得　　　所以直线相交，交点是　　(2)由方程组得　　　(1)-2(2)得3=0，矛盾.　　　方程组无解，所以两直线无公共点，.　　　我们不光可以判断两直线的位置关系，还可以通过交点坐标求出满足一系列条件的直线.　　举一反三：　　【变式1】　　已知直线满足下列两个条件：　　(1)过直线y=-x+1和y=2x+4的交点;　　(2)与直线x-3y+2=0垂直，求直线的方程.　　【答案】　　解：由得交点(-1，2)，　　

6、　　∵k=-3，　　　　∴所求直线的方程为:3x+y+1=0.　　【变式2】（2011江苏如皋）经过点，且与直线垂直的直线方程为　　　　.解析：与垂直的直线斜率为，所求直线的点斜式方程为：，即.类型二：求两点间的距离2．在直线2x-y=0上求一点P，使它到点M(5，8)的距离为５，并求直线PM的方程.思路点拨：求点的坐标，需要把点的坐标设出来，利用两点间的距离公式进行计算.解析：∵点P在直线2x-y=0上，∴可设P(a，2a)，根据两点的距离公式得，即，解得..所以直线PM的方程为即4x-3y+4=0或24x-7y-64=0.总结升华：本题的关键点是点P在直线2x-y=0上，可设P(

7、a，2a)，这样使后面的计算更加简单.举一反三：【变式】已知点A(2，0)，B(0，2)，试在线段AB上求一点P，使得

8、OP

9、最小，并求出这个最小值.【答案】解：直线AB的方程为，点P在线段AB上，可设.当时，

10、OP

11、最小.使

12、OP

13、取最小值的点为P(1，1，)，

14、OP

15、的最小值为.类型三：求点到直线的距离3．求点P(3，-2)到下列直线的距离：思路点拨：求点到直线的距离，关键是利用好距离公式，把直线方程都化为一般式.解析：(1)把方程写成，由点到直线距离