角的平分线的性质(1)

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1、§11.3角的平分线的性质（1）不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？AOBC活动1再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？（对折）情境问题如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?活动2情境问题ADBCE如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）OABCE探究新知活动3

2、NOMCENM已知：∠ＡＯＢ(如图)求作：∠ＡＯＢ的角平分线OC.在△OMC和△ONC中OM=ONMC=NCOC=OC∵△OMC≌△ONC(SSS)∴∠AOC=∠BOC即:OC是∠ＡＯＢ的角平分线.1、以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。2、分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C。3、作射线OC，射线OC即为所求。作法：ABOCNM证明:连结MC,NC由作法知:探究角平分线的性质(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然

3、后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？活动4(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.证明：∵OC平分∠AOB（已知）∴∠1=∠2（角平分线的定义）∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO（垂直的定义）在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO（已证）∠1=∠2（已证）OP=OP（公共边）∴△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）PAOBCED12已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证:PD=P

4、E探究角平分线的性质活动4(3)验证猜想角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：AOBPED12∵∠1=∠2,PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等思考：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺1：20000）sＯ公路铁路证明:∵AD平分∠CＡＢ,D是AD上一点（已知）例、已知：如图，在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，

5、F在AC上，BD=DF；求证：CF=EB∵DE⊥AB,DC⊥AC（已知）在RT△CDF和RT△BDE中BD=DF（已知）DC=DE（已证）∴RT△CDF≌RT△FDB(HL)∴CF＝BＥ（全等三角形对应边相等）ACDEBF∴DC＝DＥ(角平分线的性质）动脑筋3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：⑴图中相等的线段有;相等的角有：。⑵哪条线段与DE相等？为什么？⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长。EDCBABE=BC,DE=DC∠ABD=∠CBD

6、∠BED=∠AED=∠C6810做一做已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.BAEDCF证明：∵AD平分∠CABDE⊥AB，DF⊥AC(已知)∴DE=DF(角平分线的性质)在Ｒt△BED和Rt△CFD中,BD=CD（已证）DE=DF（已知）∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)∴BE=FC（全等三角形对应边相等）回味无穷2.定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点PD⊥OA

7、,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).小结拓展OCB1A2PDE1：画一个已知角的角平分线；及画一条已知直线的垂线；作业：P222、3