角平分线的性质1

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1、角的平分线九年义务教育三年制初级中学教科书第二册教学重点、难点教学过程课堂练习课堂小结、布置作业教学目标教学目标：①会阐述角平分线的性质定理及其逆定理②会应用角平分线定理及其逆定理证明两条线段相等或两个角相等③渗透点的集合的思想教学重点、难点：①角平分线的性质定理中所说的“角平分线上的点”是指角平分线上的任意一点。换句话说，是指角平分线上的每一个点。定理的实质是：角平分线上的所有点都满足“到角的两边距离相等”这个性质。②角平分线的判定定理的实质是：凡满足“到一个角的两边距离相等”的所有点都在这个角的平分线上。换句话说，这样的点绝不会在角的平分线之

2、外。角平分线上的点到这个角两边距离相等如何证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角两边距离相等性质定理的逆命题：角平分线上的点到这个角两边距离相等到一个角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上到一个角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上到一个角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上角平分线的逆定理：角平分线的判定定理：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合题设：ACOPEF角平分线上的点到这个角的两边距离相等D证明：∵OD是∠AOC的角平分线∴∠AOD=∠COD又∵PE⊥OA，PF⊥OC∴∠PEO=∠PFO=90°∴在△PEO和△P

3、FO中∠AOD=∠COD（已证）∠PEO=∠PFO（已证）OP=OP（公共边）∴△PEO≌△PFO(AAS)∴PE=PF(全等三角形对应边相等）结论：一个点在一个角的平分线上它到角的两边的距离相等求证：OD是∠AOC的角平分线，点P在OD上。PE⊥OA于点E，PF⊥OC于点FPE=PF已知：到一个角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上ACOPEF已知：求证：PE⊥OA于点E，PF⊥OC于点F且PE=PF点P在∠AOC的平分线上证明：经过点Ｐ作射线OD∵PE⊥OA，PF⊥OC∴∠PEO=∠PFO=90°∴在Rt△PEO和Rt△PFO中PE=PF（

4、已知）OP=OP（公共边）∴△PEO≌△PFO(HL)∴∠AOD=∠COD（全等三角形对应角相等）∴OD是∠AOC的平分线即点P在∠AOC的平分线上DABCDE填空：（1）∵AD平分∠BAC∴DC⊥AC，DE⊥AB（已知）∴DC=DE（）（2）∵DC⊥AC，DE⊥AB，DC=DE（已知）∴点D在∠BAC的平分线上（）在角平分线上的点到角两边距离相等到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上已知：∠B=∠Ｃ=90°，AB=AC求证:(1)∠ADB=∠ADC(2)DB=DC(要求不用三角形全等的判定)ABCD证明：（1）∵∠B=∠Ｃ=90°（已知

5、）∴AB⊥DB，AC⊥DC（垂直的定义）又∵AB=AC（已知）∴点A在∠BDC的角平分线上（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上）∴∠ADB=∠ADC（2）∵∠B=∠C，∠ADB=∠ADC（已知）∴180°-（∠B+∠ADB）=180°-（∠C+∠ADC）（三角形内角和定理）即∠BAD=∠CAD∵DB⊥AB，DC⊥AC∴DB=DC（）在角平分线上的点到这个角的两边距离相等例1已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等DFEABCMNP∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上∴PD=PE

6、（角平分线上的点到角的两边距离相等）同理PE=PF∴PD=PE=PF即点P到边AB、BC、CA的距离相等。证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F根据这个例题的结论，我们可以在三角形内找到一点，使它到三角形三边的距离相等。例2已知：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：AD⊥EFABCDEFO证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC（已知）∴DE=DF（在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）∴在Rt△AED和Rt△AFD中DE=DF（已证）AD=AD（公

7、共边）∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）∴AE=AF（全等三角形对应边相等）∴在△AEO和△AFO中AE=AF（已知）∠EAO=∠FAO（已知）AO=AO（公共边）∴△AEO≌△AFO（SAS）∴∠AOE=∠AOF=∠EOF=90°∴AD⊥EF(垂直定义）练习①书本52页练习1②判断题③证明题在角平分线上到角的两边的距离相等的点（性质定理）（判定定理）提供了两条线段相等的依据提供了两个角相等的依据小结学习了这两个定理以后，许多涉及角平分线的问题用定理或逆定理解决很方便。但是由于我们对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应

8、用定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理。所以，能用简单方法的，不要饶远路，切记！作业课本习题3.4A组5、6、7题判断