第十三章 虚位移原理

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1、理论力学电子教程第十三章虚位移原理第十三章虚位移原理第一节基本概念第二节虚位移原理及其应用理论力学电子教程第十三章虚位移原理虚位移原理应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。第一节基本概念一、约束及分类约束：限制质点或质点系运动的条件称为约束。表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。理论力学电子教程第十三章虚位移原理（1）几何约束和运动约束几何约束：限制质点或质点系在空间的几何位置的条件。如图1所示的平面单摆，其约束方程可表示为xo222xylA(x,y)y图1理论力学电子教程第十三

2、章虚位移原理又如图2所示的曲柄连杆机构，其约束方程则为y222(xx)(yy)bBABAA(x,y)AA222axAyAabOy0BxB(x,y)BB图2运动约束：约束对质点或质点系的运动进行限制的条件。如车轮沿直线轨道作纯滚动，如图3所示。理论力学电子教程第十三章虚位移原理y其几何约束为yorvoo运动约束为rxvor0(xor0)图3（2）定常约束和非定常约束定常约束：约束条件不随时间改变的约束。如图1、2、3中各例的约束条件皆不随时间变化，它们均是定常约束。理论力学电子

3、教程第十三章虚位移原理非定常约束：约束条件随时间而改变的约束。如图4所示，重物M由一条穿过固定圆环的细绳系住。设初始摆长为l0，匀速v拉动绳子。其约束方程为x222oxy(lvt)0lv方程中显含时间t，此约束为M(x,y)非定常约束。y图4理论力学电子教程第十三章虚位移原理（3）单侧约束和双侧的约束单侧约束（单面约束）：只能限制质点或质点系单一方向运动的约束。如图5所示。xo其约束方程为绳222xyly图5理论力学电子教程第十三章虚位移原理双侧约束（双面约束）：在两个相对的方向上同时对质点和质点

4、系进行运动限制的约束。如图6所示，其约束方程为xo222xyl刚杆y图6理论力学电子教程第十三章虚位移原理（4）完整约束和非完整约束完整约束：这类约束的约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者方程中的微分项可以积分为有限形式。如图3中，运动约束方程x0r0虽是微分形式，但可以积分为有限形式，故为完整约束。非完整约束：这类约束的约束方程中包含坐标对时间的导数（如运动约束），且方程不可积分为有限形式。本章只讨论定常的双面几何约束。理论力学电子教程第十三章虚位移原理三、自由度与广义坐标一个自由质点在空间

5、的位置：（x,y,z)3个一个自由质点系在空间的位置：(xi,yi,zi)(i=1,2……n)3n个对一个非自由质点系，受s个完整约束，则有（3n-s)个独立坐标。其自由度为k=3n-s。确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。理论力学电子教程第十三章虚位移原理例如，前述曲柄连杆机构例子中，确定曲柄连杆机构位置的四个坐标xA、yA、xB、yB须满足三个约束方程，因此有一个自由度。yA(x,y)AAabOxB(x,y)BB图2理论力学电子教程第十三章虚位移原

6、理一般地，受到s个约束的、由n个质点组成的质点系，其自由度为k3ns通常，n与s很大而k很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的k个参数（相互独立），要比用3n个直角坐标和s个约束方程方便得多。用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x,y,z,s等）也可以取角位移（如,,,等）。在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。理论力学电子教程第十三章虚位移原理例如：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，则：xacos,yasin

7、AA222xacosbasin,y0BByA(x,y)广义坐标选定后，质AA点系中每一质点的直角坐ab标都可表示为广义坐标的O函数。xB(x,y)BB图2理论力学电子教程第十三章虚位移原理讨论双锤摆。设只在铅直平面内摆动。问有几个自由度？【分析】(x,y),(x,y)112222xya211(xx)2(yy)2b22121故有两个自由度，取广义坐标，。可写出xasin,yacos11xasinbsin,yacosbcos22理论力学电子教程第十三章虚位移原

8、理三、虚位移虚位移：在质点系运动过程的某瞬时，质点系中的质点发生的为约束允许的任意的无限小位移。如图7所示，可设想质点在固定曲面上沿某个方向有一极小的位移r。MrrAzArBxyrB图7图8虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号来表示。如图8中的、r和r。AB理论力学电子教程第十三章虚位移原理虚位移与实位移是不同的概念。（1）实位移是在一定的力作