第14章 用图解法求解空间问题

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1、第14章用图解法求解空间几何问题提高篇§14－1图解法概述§14－3变换投影面法§14－4旋转法(绕投影面垂直轴旋转）§14－5旋转法(绕投影面平行轴旋转）§14－6斜投影法§14－7图解法在工程上的应用§14－2线面法§14－1图解法概述一、图解法在工程中的地位和意义研究在平面上用几何作图的手段解决空间几何问题的方法称为图解法画法几何所提供的图解法，在科学技术活动中是解决空间问题的一种重要手段，它广泛应用于各个学科领域，诸如图解静力学、物理化学分析和空间机构理论等。图解法比计算法具有简便、迅速和明确显示形象的特点。但由于作图操作和仪器工具的限制，在精度要求上还具

2、有一定的局限性。二、空间几何问题的分类空间几何问题归纳起来大体分为定位问题和度量问题定位问题包括点、线、面之间的从属关系问题，直线与平面的平行、垂直、相交问题及曲面的切平面问题。度量问题包括距离和角度问题。距离问题最基本的是点到点的距离，其实质是求线段的实长，其余所有有关距离的问题最终都可转化为两个点之间的距离。角度问题最基本的两直线的夹角，其它角度问题都可转化为两直线的夹角。PQAPPL2L1PBABPAL1L1L2ABL1PABABBAB两平行线的距离两交叉线的距离线面距离面面距离点到直线的距离点到平面的距离距离问题BAөabHФMABCFEөNөөФPQRB

3、CAABCFEө两相交直线夹角两交叉直线夹角直线对平面的倾角两平面二面角角度问题三、常用的图解法图解法分为：线面法和投影变换法。线面法：在原投影体系中利用点、线、面之间的关系及基本作图直接进行求解的方法。这是图解空间几何问题最基本的方法。投影变换法：通过改变空间几何元素和投影面之间的相对位置关系或是研究如何改变其投影方向两个途径，使之处于有利解题的位置，使问题得解得方法。投影变换的方法有换面法、旋转法和斜投影法。在工程实践及科学研究中，为了图解作图的方便，先把工程问题抽象为几何问题；然后根据问题的性质和它的具体条件和要求，确定解题的方法；最后将所求结果放到实际中去

4、检验。§14－2线面法涉及到垂直问题时，注意直角投影定理的应用；涉及到实长问题时，注意直角三角形法的应用。一、距离和角度问题例一、试求交叉直线AB和CD的公垂线a′b′d′abcdc′n′m′me′eff′gg′EFBAMCGNDPn例二、试求直线AB与三角形DEF平面的夹角。f′f′e′g′b′a′ge′bacA0ABCABөbaHФCФөc′ACABBCe′f′g′gfea′c′ca60°ACB=A0cb′bB0cB0=BCA0△ZAC△ZAC△ZC11′△ZC11例三、已知直线AB与△EFG平面的夹角为60°，AB在△EFG上的正投影为AC，求作AB的两投影

5、。ACB60°二、综合性问题图解空间几何问题的步骤：（1）空间分析分析给定的几何条件和待求解的空间逻辑关系。空间分析的方法有：轨迹分析法：根据题目给出的各已知条件逐个运用空间几何轨迹的概念，分析所求几何元素在已知条件下的空间几何轨迹，然后将这些在单个条件下的几何轨迹进行综合。显然这些几何轨迹的交集就同时满足各个条件，从而得出解题方案和解题步骤。逆推法：先假定题目所求的几何元素已经给出，反过来推出该元素所应具备的几何条件，然后进一步分析和确定这些几何条件与题目给出的已知条件之间所应建立的几何关系，从中得出解题方案和步骤（2）拟定解题方案（3）投影作图（4）投影作图通

6、过分析，得出解题方案和解题步骤，在拟定解题方案时，必须分清主次，概念清楚，条理分明eff′e′m′ma′b′bacc′2′21′1nn′作图步骤1、过点M作平面MⅠⅡ平行于已知平面ABC；2、求平面MⅠⅡ与已知直线EF的交点N；3、连接MN例四、过点M作直线，使其与△ABC平行，且与直线EF相交。gg′l′laa′bcc′b′k′kmnn′m′作图步骤1、过MN作平面MNG垂直于平面ABC；2、过点K作直线KL垂直于平面MNG。例五、过点K作直线KL与直线MN垂直，并与△ABC平行。f2′211′nmm′n′abb′a′e′f′c′d′c′deABCDEF1MN例

7、六、作一直线与两交叉直线AB和CD相交，同时与直线EF平行。f2′211′nmm′n′abb′a′e′f′c′d′c′deABCDEF1MN例七、作一直线与两交叉直线AB和CD相交，且与H、V面成α、β角αβEF正面投影长y方向距离差e′f′efaa′bb′cc′m′n′dmnd′g′gff′2′21′1e′=DFe=DE作图步骤：1、过D作平面D122、求D12与MN交点F3、求DF的实长4、在dg上，取DE=DF5、连接等腰三角形各条边，完成投影图例八、已知等腰△ＤＥＦ的顶点Ｄ和一腰DE在直线DG上，另一腰ＤＦ∥△ＡＢＣ，且点Ｆ在ＭＮ上，试完成△ＤＥＦ的两面投

8、影。一换面