用线性互站方程求解空间弹性接触问题

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1、——丕鎏盔堂堡主堡塞皇丝奎第一章基本理论本章简要回顾了本文所需应用的基本知识。变分不等方程部分以一简单问题为例，引出了变分不等方程，并介绍了与本文有关的变分不等方程理论；接触问题部分建立了两个物体接触情况下，有无摩擦时的接触互补形式；线性互补方程部分则给出线性互补方程的定义和本文采用的解法(Lemke算法)。第一节变分不等方程简介变分不等方程是近代应用数学的新成果之一，近年来在力学和物理学中得到广泛的应用。变分不等方程经数值方法离散，导出相应线性互补方程，面线性互补方程已有一些较成熟的解法，如Lemke算法。下面以一典型自由边界问题——～维障碍问题为例，介绍变分不等方程的形成。X

2、PL』D『T——-图1-1．1例：一等截面柱体，截面积为A，弹性模量为E，长为L，上部固定，下端自由，见(图1-1．1)。下端受有合力为P的均布法向力，距下端D远处有刚性障碍，D((L，当P大到一定程度，即拉伸量大于或等于D之后，柱体伸长将受到障碍的限制，同时障碍将对柱体下端有作用力。求得柱体下端的位移6——————————点丛塑巡塑和障碍阻力，就可以求出该问题的应力场和位移场。由弹性力学知，柱内各点必须满足：平衡方程G"x．：=0(1．1．1)得物理方程几何方程边界条件且如果o。=Es。占z=“1u(o)=0．u{L1≤D“(上)

3、O"x≤P／A另外，障碍对柱体的作用力为：Q2P。仃x(L)A(1一l_61为了导出所需要的变分不等方程，我们对方程(1-1．1)式运用虚位移原理o=J[肛．如)旷(工)一“扛)-k幽=f【甄巾)旷(小小)协出=EA毛(“)【y(z)一H(x)】

4、：一f￡如，(“)【毛(矿)-sx(H)幽出=(P—Q)【y(三)一"(训一fl瞻(“)【‘(矿)一＆(越)】幽出其中，“∈U耐，VV∈U“，u_为可能位移的集合．定义：c(虬矿)=￡如，(Ⅳ)q(V)dn<户，u>2PU(L)其中Q表示全域，并注意到：当Q>0时．u(L)=D，V(L)sD，于是有Q【V(L)一u(L)】S0当Q=0时

5、．U(L)=D，V(L)sD，于是有Q【VIL)一uILll=0于是必有：Q【V(L)一ufL)】s0，即≤O(】-1．7)O-l-s)(1-l忉(I-I—10a)(I-l·10b1(1—1-10)2)4小H山¨㈤“并且雕<∥≯。时，厕f_i(1-2-8)l≯，1l=,u—P。时，存在2>-0，使得d西。：旯≯。(1-2-9)式中，∥为库仑摩擦系数，(1-2．6)是接触面不可嵌入条件，(1-2—7)是压力非负条件，(1-2—8)，(t-2—9)是切向库仑摩擦条件，即切向滑动发生与否的条件。为了使切向摩擦滑动条件线性化，将向不同方向滑动分为两个不能同时成立的条件。令{

6、!?，三d咆二哩，一．一+⋯(1-2-10)ldU，≥0，dUr≥0且当dUr=0对，dU。=dU，=0则式(1-2．6)～(1-2．9)可写成摩擦接触互补形式：P。U。=0(aP一一Pt)。dU，=0(∥P一十尸r)。dUr=0P。≥0U。≥0∥≯。一≯，≥i，dU—j≥0(1-2．11)∥≯。+≯。≥i，d—U一,2o式中，≯。为法向力因子，孑。为法向位移接触因子，@≯。±≯，)为摩擦条件因子，d—Ut+、d—U,一为切向滑动因子。无摩擦的情况时，摩擦系数Ⅳ；0，接触条件互补形式为Z孑。：0，≯。2i，孑。≥；(1．2．12)第三节线性互补方程所谓线性互补方程具有如下定义，设

7、矗是一个给定的P·P阶矩阵。亘是一给定的P维内量，则把具有如下形式的方程叫做线性互补方程。IV-MZ=Q形≥o’zf≥o，f=1，2’AA，lO(卜3．1)(1-3-2)——．查堡莶兰壁主堡塞兰堡奎彬Z；=0，i=1，2，AA，P式中，(影，z。)是一对互补变量，(卜3．2)式是非负条件，求出满足条件(1-3—1)～(I-3·3)的∥和z的问题，叫做线性互补问题。本文用Lemke算法解线性互补方程，该方法具有通过有限次运算即可得到结果的特点。如果问题本身是不相容的，则经过有限次运算后，也会自动停止，给出无解信息。该法被认为是最好的算法之一‘14>第四节空间等参数单元的概念我们首先

8、从平面的任意四边形单元着手，介绍等参数单元的一些基本概念(但目的在于用空间等参数单元来计算空间问题)。在平面问题的有限单元中，最简单因而最常用的是具有三个结点的简单三角形单元，其次是具有四个结点的矩形单元。矩形单元，由于它的位移模式是坐标的二次函数，单元内的应力不是常量而是线性变化的，所以能够比简单三角形单元较好地反映实际应力变化的情况。但是，矩形单元不能适应曲线边乔和非正交的直线边界，也不便随意改变大小。如果改用任意四边形的单元，如图(1—4．1)所示，而仍旧采用矩形单元的位移