用线性规划求解捕鱼问题

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用线性规划求解捕鱼问题张亚琴，周佳，邢秀秀摘要本文讨论了水库承包商捕鱼的经济效益问题，属于优化问题。根据给定数据利用matlab软件进行求解分析，制定最优捕鱼计划。除去考虑每天捕捞草鱼量之外，还需考虑随着放水清库时草鱼的死亡量，以及每天销售草鱼所获得的收益。若捕捞过多，草鱼销售单价过少，承包商的利益降低；若捕捞过少，则会随着水库水量减少造成草鱼大量死亡，使得承包商亏本。因此在研究草鱼捕捞量的问题上，采用线性规划模型对草鱼捕捞量进行优化，以期达到最佳的经济效益。建立线性规划模型，编写matlab程序，得出最优解：第1至18天每天捕捞1000kg，第19天为233kg，第20天为0kg。所获得最大利润为367650元，共损失草鱼6785.2kg。关键词：0-1规划；matlab 一、问题分析本问题是求解最优值问题，目标函数为，即使收益和成本的差达到最大值。首先对影响收益的主要因素进行了分析，可知收益与捕捞量成分段函数，草鱼捕捞的成本费是随着水位的降低而减少的，随着水位的不断下降，草鱼死亡量造成的损失增加，假设成本费与草鱼损失均与水位呈线性关系，建立方程即可得第天的收益，约束条件为第天草鱼的存活量。使每天的收益达到最大值，从而使得20天的总收益最高。二、问题重述一个水库的承包商为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，要对水库的杂鱼做一次彻底清理，因此经营商打算放水清库，同时为使捕捞鲜活草鱼投放市场时，获得最佳效益。经多方调查知：(1)水库排水在20天排完，并且从现有水位平均15米，每天水位降低0.5米，最低降至5米，按天数线性减少；(2)据估计水库内尚有草鱼25000余公斤；(3)若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤，处于饱和；(4)捕捞过程中的成本随水位的降低不断减少：捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤；(5)同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，在15米时损失率为0，至最低水位5米时损失率为10%。建立模型，确定捕捞鲜活草鱼投放市场的最佳效益方案。三、模型假设与符号说明2.1模型的假设(1) 在整个售鱼的过程中，顾客都只到该承包商处购鱼。即此承包商的最大供应量到1500公斤；(2)水位的变化除了每天的自然放水，不考虑蒸发等其他的情况；(3)每日售出的草鱼数量即为当天捕捞的草鱼，不出现有当天捕捞的鱼留到第二天卖的情况；(4)假设在放水清库的过程中，随着水位的下降,捕捞成本与水位呈线性关系；(5)假设在放水清库的过程中，随着水位的下降,损失率与水位呈线性关系。2.2符号的说明C：草鱼的总量()；x：草鱼每天销售量；h：水库水位()；y：草鱼每公斤销售价钱；s：承包商总收益；Z：捕捞所有草鱼的成本；：第i天的鱼的死亡率；：表示0-1规划的变量；其他用到符号会在文中说明。四、模型的建立与求解4.1建立草鱼的销售收益随供应量变化的函数关系假设损失率与水位成一次线性关系，且不存在草鱼日供应量大于1500kg的情况，则有当时，；当时，；当，此时假设其货价与售量成一次线性关系过点（1000，20），（1500，6），；由上可得第i天的售价为且； 所以总售价且。4.2建立草鱼的捕捞成本随时间变化的函数关系假设捕捞成本与水位成一次线性关系，因捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。故成本与水位的关系为（）；水位与时间的关系；第i天的成本为所以总成本与时间的关系4.3建立损失率与水位关系假设其损失率与水位成一次线性关系，由随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%，且在水位为15米时损失率为0。得第i天的损失率与时间的关系第i天的存活量的递推关系，；第i天的损失量与时间的关系。4.4建立并求解模型该模型的纯收入，在捕捞量范围内，求20天内每天的最大收益，并将取到最大收益的捕捞量输出。由matlab可以实现，并得出如下结果：最大利润为367650元，共损失草鱼6785.2kg。 第1天1000kg第6天1000kg第11天1000kg第16天1000kg第2天1000kg第7天1000kg第12天1000kg第17天1000kg第3天1000kg第8天1000kg第13天1000kg第18天1000kg第4天1000kg第9天1000kg第14天1000kg第19天233kg第5天1000kg第10天1000kg第15天1000kg第20天0kg表1捕捞量数据五、模型的评价与改进该模型考虑了影响收益的多种因素，比较符合实，模型通过计算使每天的效益达到最大，从而使得总利润最高。本模型只考虑了供应量低于1500公斤时的情况，并没有考虑高于1500公斤时的情况，并不完善，因此该模型可以在销售量与供应量之间的关系上进行改进；另外，本文是通过matlab对模型进行求解的，lingo软件也可以很好的解决线性规划问题和非线性规划问题；最后，问题也可建立成多目标规划问题，使捕捞成本最少，且草鱼损失最少的情况下达到效益最佳。 参考文献[1]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型(第三版)[M].北京:高等教育出版社.2003,1 [2]张威.MATLAB基础与编程入门(第二版)[M].西安:西安电子科技大学出版社.2008,1 [3]甘应爱,田丰,李维铮.运筹学(第三版)[M].北京:清华大学出版社.2005,6 [4]张菊芳,刘海行,吴自库.捕鱼问题的非线性控制模型[J].青岛化工学院学报1998,3(19):291~295