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1、锥曲线的分类探讨宜昌市第一中学周继业［摘要］圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，它体现了解析几何数与形的相互转化，展示了解析几何在计算方法上的特点和技巧，表现了辨证思想的丰富内涵.本文重点通过截痕和二元二次方程两种观点证明了二次曲线分类的惟一性，即有且仅有椭圆、抛物线、双曲线三种曲线。［关键词］圆锥曲线；截痕；二元二次方程；预备知识：圆锥曲线的定义(椭圆、双曲线、抛物线)椭圆定义I：若Fl,F2是两定点，P为动点，且
2、PFi
3、+
4、PF2
5、=2^>
6、F］F2
7、(°为常数)贝IJP点的轨
8、迹是椭圆.定义II：若R为定点，1为定直线，动点P到斤的距离与到定直线1的距离之比为常数e(Oh>0).er双曲线定义I：若Fi,F2是两定点，
9、
10、^
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14、=26/<
15、^^
16、(d为常数)，则动点P的轨迹是双曲线。定义II：若动点P到定点F与定直线1的距离Z比是常数e(e>l),»点P的轨迹是双曲线,22标准方程：二—爲=1(a>0">0).CTb~抛物线定义：到定点F与定直线1的距离相等的点的轨迹是抛物线，即：到定点F的距离
17、■到定立线1的距离之比是常数e(e=l),标准方程：『2二2/及,(0〉0),〃一一焦参数・1.圆锥曲线分类的惟一性1.1截痕观点我们取一空间坐标系S三可，设有一条过原点的航线L和z轴的夹角为a,(jiA0<6/<-,将L绕z轴旋转一周且保持a角不变，得到一个圆锥T,如图所示，可知圆锥T的I2丿v2+V2方程为一二才，即：x2+y2=?・Um「・tan~a(jiA另取一平面E和x轴平行且过定点(0,0,c),若E和圆锥的夹角为&,Ov&v—,可以I2丿得到平面E的方程为一=tan&(zHc),即：
18、y・cos&-(z-c)・sin&=0(如图1.1)则平面E与恻锥T的交线方程为：fx2+V2=z2-tan2tz<(1)卜・cos&—(z-c)・sin0=0我们将原朋标系S三(。;门,乔)平移到新的处标原点o',使得o'的原坐标为(0,0,C),因此,空间中任意一点p(x,y,z)与新坐标〃'(X.y'.z')之间的关系为(X,y,刃二(兀‘,y',£+c),彳銀(1)式得：fx2+y,2=tan2a•(z+c)2(2)[/•cos&一z'•sin0=0(、在此基础上，我们再将坐标系S三(o'
19、;7,j,Q绕X’轴旋转-•个有向角--Q,得到一个新坐标系S'三(0';玄,&恳)，则空间中任意一点(心y',z‘)与新坐标〃"(讥)匚/)之间的关系为：(x',y；z‘)二x.yn-cos(—-0)-zf，•sin(—-0),ynsin(—-0)+zncos(—-3),化简得到：I2222丿(x',y；z')=(x",y"・sin&—z"・cos&,y"cos0+z"sin&),将其代入(2)式得:兀力+(〉'"•sin&-/•cos&)'=tai?a•(＞，"•cos&+z"・sin&+z"
20、=0xn2+(sin2&-cos?^tan2町•)"-(2c•cos&•tan?町-yn-c2-tan2a=0z"=0显然，(3)式表示平面E和圆锥T的交线落在平血上，且交线轨迹方程为:(4)xn24-(sin2^-cos20-tan2a)・严-(2c-cos^-tan2町・y"_c?-tan2a=0因此圆锥曲线的分类问题转化为分析c=0和cHO两种情形：(结合预备知识)1.1.1第一种情形(cHO)1)当0=d时，yM项的系数为°,图形为抛物线；2)当e>d时，项的系数为正数，图形为椭圆；3)当
21、&V0吋，项的系数为负数，图形为双曲线;1.1.1第二种情形(c=0)(4)式变为x"2+(sin20-cos2<9•tan2•y"2=01)当0=S时，)严项的系数为°,图形为两条重合直线;2)当0>d时，项的系数为正数，图形为空间里的一个孤立点;3)当&V0吋，项的系数为负数，图形为两条相交直线；1.2二元二次方程观点圆锥曲线的方程是一个二元二次方程式，我们任给一个二元二次方程式:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=O(5)该方程的图形一定是椭I员I、抛物线或双曲线吗？我们针对b=0和bH
22、O两种情形讨论:(6)1.2.1第一种情形b=0(5)式变为ax2+cy2+dx+ey+f=0(1).当ac=0时,线及空集合).(2).当ac>0时，(3).当ac<0时,我们称为抛物线型，其图形为抛物线(含退化情形：两条平行宜线，两条重合直我们称为椭圆型，其图形为椭圆或圆我们称为双曲线型，其图形为双曲线(含退化情形：孤立点与空集合).(含退化情形：两条相交直线).即：a(d)X42=y*+兰，若占0,可得…rd、XH2=-e「宀4町k2a)•4aL2a丿<4必丿2(1).当ac
