二次函数的竞赛题型及其解题策略

《二次函数的竞赛题型及其解题策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、二次函数的竞赛题型及其解题策略二次函数是初中数学的重要内容，由于它题材丰富，又易成为多种数学思想方法的载体，因此，深受各级各类竞赛命题者的亲睐，成为近几年各地竞赛的热点问题之一.木文拟对二次函数的竞赛题型及其解题策略作粗略概括，仅供大家参考.一、二次函数的系数日、力、Q及相关代数式的取值问题抛物线y二爰+bx+c中二次项系数日描述抛物线的开口，日>0向上，日〈0向下;常数项c描述抛物线与y轴的交点(0,c),c>0时交点处x轴上方，c〈0时交点处/轴的下方，c二0时时处原点；由对称轴公式A=——b与日一•起来描述抛2a物线的对称轴；b'~4ac大于0

2、,等于0或小于0,决定抛物线和x轴交点的个数,等等.上面性质反之亦成立.我们还可以通过考察如尸±1时y的值的情况，来确定a±b^c等的符号问题.例1抛物线y=ax^bx-f-c的顶点为(4,—11),且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负•则日、b、(?屮为正数的()A、只有日B、只有力C、只有cI)、有日和方解：由顶点为(4,-11),抛物线交;r轴于两点，知自>0・设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为七，X2,即山、址为方程爲#二0的两个根，由题设衲2〈0知£〈0,所以以0,又对称轴为尸4知一2>0,故ZK0.故选(A).a2a二、二次函数与整数

3、问题二次两数与整数问题的联姻主要表现在系数日、b、c为整数、整点以及某范I韦I内的参数的整数值等•解题时往往要用到一些整数的分析方法.例2己知二次函数f(x)-ax+bx+c的系数3、b、c都是整数，并且r(19)=A99)=1999,

4、c

5、<1000,则c二•解：由已知f(D=£+bx+c,_aA19)=A99)=1999,因此可设心二心一19)O一99)+1999,所以ax+bx^c-a(x—19)(%—99)+1999二曰,一(19+99)卅19X99^+1999,故c二1999+1881日・因为

6、c

7、<1000,臼是整数，臼H0,经检验，只有

8、沪一1满足，此时6-1999-1881=118・例3已知日，b,c是正整数，且抛物线y=ax+bx-^c与x轴有两个不同的交点A,B,若A、B到原点的距离都小于1,求a+b+c的最小值.解：设A、B的坐标分别为Adi，0),B(&,0),且xY0,_a又由题设可知△二4日c〉0,Z.b>2VZc①V

9、0A

10、=

11、Xi

12、<1,

13、OB

14、=

15、

16、<1,即—1

17、一1时Q0,•:日(一1尸+方(一l)+c>0,即a+c>b・•・•方，臼+c都是整数，・••尹cMfrH③由①，③得盘切>2芯+1,・・・(石—JF)，>1,又由②知，4a-4c>1,yfa>4c+1,即a>(Vc+1)2^(Vl+1)2=4・••日25,乂力>2巫22j^I>4,・・"N5取臼二5,戻5,c二1时，抛物线7=5#+5卅1满足题意.故&+b+c的最小值为5+5+1=11・三、二次函数的图象与面积问题求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图彖的交点等点所构成的面积，关键是用含系数日、4C的代数式表示出点的坐标或线段长，使面积问

18、题与系数曰、b、C建立联系.例4如果y=x2-（k-l）x-k-1与X轴的交点为A,B,顶加C,为幺AABC的面积的最小值是（）A、1B、2C、3I）、4解：由于△二（W—1尸+4（的1）二（的1尸+4>0,所以对于任意实数乩抛物线与x轴总有两个交点，设两交点的横坐标分别为益，址，贝归AB

19、=J（X

20、—兀2）2=J（X

21、+兀2）2_4兀

22、兀2=Jk2+2^+5又抛物线的顶点c坐标是（口，»+"+5）,打伙2+2k+5)3824因此Saabc~—JkJ+2k+5•2因为川+2&+5二（&+l）2+4$4,当扫一1时等于成立，所以，SAABc^-V4?=

23、1,故选A.8四、二次函数的最值问题定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值（最大值和最小值）.如果顶点横坐标在区间内，则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值；如果顶点横坐标不在区间内，则在区间两端点处各取一个最值.定义域是开区间时，二次函数（2）若一2〈臼月.$+2〈丄，即一2〈水一—,当x=a+2时，y最小值=（尹2）‘一（尹2）221311Q—2二/+3日，若日〈—W日+2，即一—W&〈—，当尸—时，y最小值二一—•若—,当x^qH'J,y眾小值二盘—a—2.2例6当

24、/+1

25、W6时，函数y^xx—2x+1的最大值是•解：由

26、屮1

27、W6,

28、得一7WxW5,当0WxW5时，尸,_2对1二匕一1尸，此时F最大值二（5—1尸二16.当一7Wx〈0,尸一