二次函数的竞赛题型及其解题策略_免费下载

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1、二次函数的竞赛题型及其解题策略二次函数是初中数学的重要内容，由于它题材丰富，又易成为多种数学思想方法的载体，因此，深受各级各类竞赛命题者的亲睐，成为近几年各地竞赛的热点问题之一．本文拟对二次函数的竞赛题型及其解题策略作粗略概括，仅供大家参考．一、二次函数的系数a、b、c及相关代数式的取值问题抛物线y=ax2+bx+c中二次项系数a描述抛物线的开口，a>0向上，a<0向下；常数项c描述抛物线与y轴的交点(0，c)，c>0时交点处x轴上方，c<0时交点处x轴的下方，c=0时时处原点；由对称轴公式x=－知b与a一起来描述抛物线的对称轴；b2－4ac大于0，等于0或小于0，

2、决定抛物线和x轴交点的个数，等等．上面性质反之亦成立．我们还可以通过考察如x=±1时y的值的情况，来确定a±b+c等的符号问题．例1　抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(4，－11)，且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负．则a、b、c中为正数的（）A、只有aB、只有bC、只有cD、有a和b解：由顶点为(4，－11)，抛物线交x轴于两点，知a>0．设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，即x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，由题设x1x2<0知<0，所以c<0，又对称轴为x=4知－>0，故b<0．故选(A)．二、二次函数与整数问题二次函数与整数问题

3、的联姻主要表现在系数a、b、c为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等．解题时往往要用到一些整数的分析方法．例2　已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的系数a、b、c都是整数，并且f(19)=f(99)=1999，

4、c

5、<1000，则c=．解：由已知f(x)=ax2+bx+c，且f(19)=f(99)=1999，因此可设f(x)=a(x6－19)(x－99)+1999，所以ax2+bx+c=a(x－19)(x－99)+1999=ax2－(19+99)x+19×99a+1999，故c=1999+1881a．因为

6、c

7、<1000，a是整数，a≠0，经检验，只有a=－1

8、满足，此时c=1999－1881=118．例3已知a，b，c是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A，B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值．解：设A、B的坐标分别为A(x1，0)，B(x2，0)，且x10，∴b>2①∵

9、OA

10、=

11、x1

12、<1，

13、OB

14、=

15、x2

16、<1，即－10，∴a(－1)2+b(－1)+c>0，即a+c>

17、b．∵b，a+c都是整数，∴a+c≥b+1③由①，③得a+c>2+1，∴()2>1，又由②知，>1，+1，即a>(+1)2≥(+1)2=4∴a≥5，又b>2≥2>4，∴b≥5取a=5，b=5，c=1时，抛物线y=5x2+5x+1满足题意．故a+b+c的最小值为5+5+1=11．三、二次函数的图象与面积问题6求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成的面积，关键是用含系数a、b、c的代数式表示出点的坐标或线段长，使面积问题与系数a、b、c建立联系．例4　如果y=x2－(k－1)x－k－1与x轴的交点为A，B，顶点为C，那么△ABC的面积的最小值

18、是（）A、1B、2C、3D、4解：由于△=(k－1)2+4(k+1)=(k+1)2+4>0，所以对于任意实数k，抛物线与x轴总有两个交点，设两交点的横坐标分别为x1，x2，则：

19、AB

20、=又抛物线的顶点c坐标是()，因此S△ABC=·因为k2+2k+5=(k+1)2+4≥4，当k=－1时等于成立，所以，S△ABC≥，故选A．四、二次函数的最值问题定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值(最大值和最小值)．如果顶点横坐标在区间内，则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值；如果顶点横坐标不在区间内，则在区间两端点处各取一个最值．定义域是开区间时，二次函数只有其顶点横坐标在

21、区间内的才在顶点处取得一个最值，否则不存在最值．－2－1120xy·图1例5　已知二次函数y=x2－x－2及实数a>－2．求：(1)函数在－2

22、x+1

23、≤6时，函数y=