二次函数常见题型和解题策略(压轴题)

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1、二次函数常见题型及解题策略1、两点间的距离公式：M=J（）i-yJ+（心-兀J2、中点坐标：线段43的屮点C的坐标为：（心+心，儿+力、I22）3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：①用△和参数的其他要求确泄参数的取值范围；②解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于兀的一元二次方程x2-2（m+l>+m2=0有两个整数根，加<5且加为整数，求加的值。4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。（方法同上）例：若抛物线歹=加

2、空+（3加+1）兀+3与x轴交于两个不同的整数点，且加为正整数，试确定此抛物线的解析式。5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关于x的方程A7ZY2-3（m-l）x4-2m-3=0（加为实数），求证：无论加为何值，方程总有一个固定的根。解：当m=0时，x=l；当m"时，△=（加一3）2,兀=3（加_1）土VI,州=2—丄、兀2=1；2mm综上所述：无论加为何值，方程总有一个固定的根是1。6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线y=x2（加是常数），求证：不论加为何值，该抛物线

3、总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于m的方程y-x2+2=m（l-x）；・・・抛物线总经过一个固定的点（1,-Do（题目要求等价于：关于加的方程y-x2+2=m（l-x）不论加为何值，方程恒成立）f6?=0小结：关于X的方程ax=b有无数解…b=07、路径最值问题(待定的点所在的直线就是对称轴)(1)如图，直线厶、厶，点力在厶上，分别在厶、厶上确定两点M、N,使得AM+MN之和最小。(2)如图，直线人、厶相交，两个固定点人、B,分别在厶、厶上确定两点M、N,使得BM十MN+AN之和最小。

4、(3)如图，4、3是直线/同旁的两个定点，线段Q,在直线2上确定两点E、F(E在F的左侧),使得四边形AEFB的周长最小。8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法9、函数的交点问题：二次函数(歹=久疋+/?/+(?)与一次函数()(1)解方程组・y-处+加+'可求出两个图象交点的坐标。[y=kx+h(2)解方程组＜y=ax2+bx+c即dF+y—Rk+c—bn),通过A可判断两个图象的交点的个数y=kx+h有两个交点OA>0仅有一个交点＜=＞A=O没有交点OA<010、方程法(1)设：设主动点的坐标或

5、基本线段的长度(2)表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量(3)列方程或关系式11、几何分析法特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用儿何分析法能给解题带来方便。儿何要求儿何分析涉及公式应用图形跟平行有关的图形平移1、//1,o&=灯、k=—~—_X)-x2平行四边形矩形梯形跟直角有关的图形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等仙=-九)'+(心一勺)2直角三角形直角梯形矩形跟线段有关的图形利用几何中的全等、中垂线的性质等。曲=J(%-

6、九F+(心一勺F等腰三角形全等等腰梯形跟角有关的图形利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等1、(2012西城一模第25题)平而直角坐标系xOy中,抛物线y=屁-4or+4d+c与x轴交于点A、点B,与)，轴的正半轴交于点C,点A的坐标为(1,0),OB=OC,抛物线的顶点为D。(1)求此抛物线的解析式；(2)若此抛物线的对称轴上的点P满足ZAPB=ZACB,求点P的坐标；(3)Q为线段BD上一点，点A关于ZAQB的平分线的对称点为4'，若QA-QB=^2，求点Q的坐标和此时的面积。2、（2012东城二模第25酊

7、如图,在平面直角坐标系xOy'h已知二次函数y=ax1+2ax+c的图像与y轴交于点C（0,3）,与兀轴交于A、B两点，点3的坐标为（一3,0）。（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成而积为1：2的两部分,求出此时点M的坐标；（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时厶CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此吋点P的坐标。3、(2012海淀二模第24题)如图，在平面直角坐标系兀O)；中，抛物线y=—x2-2x与x轴负半轴交于m

8、点A,顶点为B,且对称轴与无轴交于点C。(1)求点B的坐标(用含加的代数式表示)；(2)D为OB中点,直线AD交y轴于E,若E(0,2),求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，点M在直线03上，且使得AAMC的周长最小，P在抛物线上，0在直线BC上，若以力、M.P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。4、(2012东城二模第23题)

9、己知关于兀的