万有引力定律的典型例题剖析

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1、万有引力的典型例题剖析葛亚苹一、重力加速度的问题1.关于重力⑴在地面上，忽略地球自转时，认为物体的向心力为零.各处位置均有加g二器巴⑵由于Ffi=mw2R非常小，所以对一般问题的研究认为代=0,加g=£譽2.重力加速度(1)任意星球表面的重力加速度：在星球表面处，由于万有引力近似等于重力，GMmGM_(R为星球半径，u为星球质量)R2R2(2)星球上空某一高度h处的重力加速度：z=_GM_(/?+/?)2(R+h『随着高度的增加，重力加速度逐渐减小.【例1】英国《新科学家》杂志评选IB72008年度世界8项科学Z最，在/W1650—500双星系统中发现的最小黑洞位列

2、其中，若某黑洞的半径R约为45加，质量M和半径R的关系满足学=2B.101"m/s2D.101:m/s2解析：对黑洞表面附近一个物体m有加g=竺巴，&=理务(其为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为()A.10、m/s2C.1012m/s2得g=^=2x45xlO3=1012血"【例2】利用航天飞机，宇航员可以到太空维修岀现故障的人造地球卫星.已知一颗人造地球卫星在离地高度一定的圆轨道上运行.当航天飞机接近这颗卫星并与它运行情况基本相同时，速度达到了6.4km/s.取地球半径为R=6400km,地球表面的重力加速度为g=9.8m/sS试求这颗卫星离

3、地面的髙度.解析万有引力提供人造地球卫星运行所需的向心力GMmv2=/77(/?+/2)2R+h在地球表面有GM=gR2由以上两式解得h=^-R,代入数据可得/i=3.4xl06mv~二、天体质量密度的计算1.解决天体圆周运动问题的一般思路利用万有引力定律解决天体运动的一般步骤(1)两条线索①万有引力提供向心力F=F〃.②重力近似等于万有引力提供向心力.(2)两组公式GMm9厂?（2兀2=mw~r=加（〒-）~②加g,=m—-mw2r=m(—)2r(gr为轨道所在处重力加速度)rT1.天体质量和密度的计算(1)利用天体表而的重力加速度g和天体半径R.由于mg=2M^

4、f故天体质量MgR2G天体密度V33g4/iGR(1)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r进行计算.①由万有引力等于向心力，即竺竺得出中心天体质量GT2MM3龙”②若已知天体的半径R,则天体的密度p=-=-^—=^—U加GTR3①若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R,则天体密度p=込.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度.GT2【例3】已知万有引力常量G,地球半径R,月球和地球之间的距离r,同步卫星距地面的高度h,月球绕地球的运转周期T】，地球的自转周期T2,地球表面的重力加速度g・

5、某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地心做圆周运动，由竺色=加(2)2力，得h2T2GT22(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由.如不正确，请给出正确的解法和结果.(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果.解析：天体质量、密度的两种计算方法：①万有引力提供向心力对同步卫星有册訥評心)，得"晋“口讣十GMm”2龙、。扫*4;r厂对月球有—?—=m(—)”得A/=—r27]GT;②重力近似等于万有引力提供向心力对地球表面附近一物体叫有加°g二理得RG三、人造卫星问题1.人造卫星的动力学特征万有引力提供向心力，即GM："=m

6、—-mw2r=m(—)2r广rT2.人造卫星的运动学特征⑴线速度：由=m—得y=J空，随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小.厂rVr小厶、士心,GMm2zn(2)角速度：由一=mw^r得如=GM随着轨道半径的增大,卫星的角速度减小.(1)周期：由=m(—)2r,得了=」些丄，随着轨道半径的增大，卫星的运行周期增厂TGM大.1.卫星的稳定运行与变轨运行分析(1)什么情况下卫星稳定运行？卫星所受万有引力恰等于做匀速圆周运动的向心力时，将保持匀速圆周运动.+na/八亠GMmv2洒足的公式：——；—=m一./-r(2)变轨运行分析：当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或

7、关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力就不再等于所需的向心力，卫星将做变轨运行.p2学知其运行速度要①当v增大时，所需向心力加；增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，rtiv减小，但重力势能、机械能均增加.②当卫星的速度突然减小吋，向心力加乂减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星r将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行吋由v二」f知其运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少(卫星的发射和回收就是利用了这一原理).p【例4】假设将來人类登上了火星，考察完毕后