典型例题剖析

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1、典型例题剖析例1.指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件？（1）三个球全部放入两个盒子，其中有一个盒子有一个以上的球.（2）直线右侧区域内的点的坐标可使不等式成立（3）当角x取某一实数时可使成立.解：（1）是必然事件.（2）当A>0时，直线右侧区域内的点的坐标使不等式成立；当A<0时，直线右侧区域内的点的坐标使不等式成立.所以“直线右侧区域内的点的坐标可使不等式成立.”是随机事件.（3）是不可能事件.因为由三角函数定义可知，当x取任何实数时，也不能使例2.一副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块四种花色，每种13张，共52张，从一副洗好的牌中任取四张，

2、求四张中至少有三张黑桃的概率.以下两种解法哪一种对？解法一：从52张牌中任取4张，有C种取法，n=C.“四张中至少有三张黑桃”可分为两类：“恰有三张黑桃”与“四张全是黑桃”，共有C种取法.解法二：所求概率的分子可按如下方法计算，先取三张黑桃，有C种取法，第四张从剩余49张中任选一张，故分子应为C·C结论：解法二出现的错误在于分子计算中有重复现象（前面排列组合部分也曾提醒同学们注意这个问题）.例3.有6个房间安排4个旅游者住，每人可以进住任一房间，且进住各房间是等可能的，试求下列各事件的概率：（1）事件A：指定的4个房间各有一人；（2）事件B：恰有4个房间

3、中各有一人；（3）事件C：指定的某个房间中有两人；（4）事件D：第一号房间有一人，第二号房间有三人；解：由于每人可以进住任一房间，进住哪房间有6种等可能的方法，根据乘法原理4个人进住6个房间共有64种方法.（1）指定的4个房间中各有一人，有A种方法.（2）从6间中选出4间有C种方法，4个人每人去一间有A种方法.（3）从4个人中选2人去指定的某个房间，共有C种选法，余下2人每人都可去5个房间中的任一间，因而有52种方法.（4）从4个人中选1人去第一号房间，有C种选法，从余下3个人中选3人去第二号房间，有1种选法.例4.一个口袋里共有2个红球和8个黄球，从中

4、随机地接连取三个球，每次取一个，记｛恰有一个红球｝为事件A，｛第三个球是红球｝为事件B，在（1）不返回抽样（2）返回抽样两种情况下分别求事件A、B的概率.（1）解法一：由不返回抽样知第一次从10个球中抽一个，第二次只能从9个球中抽一个，第三次只能从8个球中抽一个，故基本事件的总数，事件A的种数，从而解法二：抽三次恰有一个红球的三个事件：｛红黄黄｝、｛黄红黄｝、｛黄黄红｝两两互斥，因此P（A）=P（红黄黄）+P（黄红黄）+P（黄黄红）=第三次抽到红球，对前二次是否抽到红球没要求，所以事件B的种数，故（2）求P（A）解法一：由返回抽样知每次从10个球中抽一个

5、，故基本事件的总数n=103，事件A的结果总数，从而P（A）=解法二：用n次独立重复实验中事件恰好发生k次的概率公式，由得P（A）=求P（B）解法一：由返回抽样知每次从10个球中抽一个，故基本事件的的总数n=103，事件B的种数，从而P（B）第三次抽到红球的三个事件：｛红黄红｝、｛黄红红｝、｛黄黄红｝两两互斥，因此P（B）=P（红黄红）+P（黄红红）+P（黄黄红）=说明：从本例可看出不论返回抽样还是不返回抽样，第三次抽到红球的概率，只与红球所占的比例有关，与第几次抽到红球无关.例5.箱中有a个正品，b个次品，自箱中随机连续抽取3次，每次取1个，取出后不放

6、回，问取出的3个全是正品的概率是多少？解法一：任取三个产品，第一个产品有a+b种取法，第二个产品有a+b－1种取法，第三个产品有a+b－2种取法，故共有(a+b)(a+b－1)(a+b－2)=A种取法.同理，取出三个全是正品有A种取法.解法二：不考虑产品取出顺序，从a+b个产品中任取3个产品，有C种取法.取出三个正品有C种取法，共以C种取法.注意：两种解法都正确，其区别在于将基本事件划分得粗细不同.值得指出的是，不论划分粗细，必须是等可能才行.例6.箱中有a个白球和b个黑球，从中任意连续取出k+1个球，如果球被取出后不放回，求最后取出的一个球是白球的概率

7、.解法一（细分）：每k+1个排列好的球构成一基本事件，故基本事件总数为A个.最后取出的一个是白球，该球可从a个白球中任取一个，其余K个可以是a+b－1中任意k个的一种排列，故事件A“取出的k+1个球中最后一个是白球”共有个基本事件.解法二（粗分）：只考虑最后一球，若最后一球可任取，共有a+b种取法.限定最后一球为白球，有a种取法，故概率P=例7.一人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门.随机逐个试验钥匙，问“房门恰在第k次被打开”的概率是多少？解法一（细分）：n把钥匙按任意顺序开锁，共有n！种开法；限定第k次成功，则第k次只能是确定的一把，其他钥匙次序任

8、意，共有（n－1）!种开法，解法二（粗分）：只考虑第k次试验时的钥匙，第k次试验