导致解题错误原因剖析及防范策略

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1、导致解题错误原因剖析及防范策略学生每次作业都或多或少有些错误，且造成错误的原因是复杂的•这就要求我们研究导致错误的原因，对症下药，以课堂为中心改进教学，防范错误，提高学生数学学习的成效.1忽视概念的实际背景数学概念的产生有其特定的背景，忽视这一背景就极易导致解题失误.例1设点P到点F(0,1)的距离与它到直线1：x+y?l二0的距离相等，则点P的轨迹是A.抛物线B.椭圆C.双曲线D.—条直线错解根据抛物线定义，选A.剖析错因是忽视抛物线定义中'‘点F不在直线1上”的几何背景.防范策略教学中要重视锥曲线图形产生过程的实验演示•指出：不同的几何背景产生不同的轨迹，使学生深刻认识每一种具体圆锥曲

2、线的特定几何背景(如点P到定点F的距离与它到定直线1的距离相等：(i)当点F在1上时,点P的轨迹是一条直线；(ii)当点F不在1上时，点P的轨迹是抛物线)•从而有效避免此类错误的发生.2忽视特例当特例不包含于一般情形之内时，如忽视对特殊情况进行具体讨论，就会造成解题疏漏.例2过点P(2,4)作圆C：(x?l)2+(y?2)2=l的切线1,求切线1的方程.错解设切线1的方程为：y?4=k(x?2).由圆心C(l,2)到切线1的距离2l+?kk2=1,解得k=34,所求切线1的方程为y?4=43(x?2),即3x?4y+10=0.剖析所设切线1方程蕴含限制条件，其前提是斜率k存在•很明显，点P

3、在圆C外，这样的切线应该有两条，说明另一条切线的斜率不存在，其方程为x=2.切线1有两条:3x?4y+10=0以及x=2.防范策略教学中要引导学生重视知识生成中的一些特殊规定，加强思维严谨性训练，培养周密思考的习惯.3以一概全有些数学问题有多种结果，如果只满足于一种结果，缺乏全面考虑，就会造成漏解.例3已知长方形纸片ABCD中，AB=4,CD=2,将该纸片作为一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积.错解设底圆半径为r,则2n?r=4圆柱的体积V二兀?r2?CD=Ji8.剖析此处只考虑了以AB作为底圆周长的情况，忽视了以CD作为底圆周长也合乎题意•而当2n?r=2时，V=Ji?r2?AB=Ji4.

4、所以圆柱的体积为8n或4n.防范策略教学中引导学生多角度审视命题，探究命题可能蕴含的多种情形，就能克服浅尝辄止，有效防范因考虑片面导致的漏解.4忽视公式(定理)成立的条件教学中经常发现，学生因忽视公式、定理成立的条件，导致错误结果.例4已知a>0,b>0,且a+b=1,求2a+3b的最小值.错解Va>0,b>0,且a+b=1..•.abW???a+2b?99••2=14(1).又a2+3b±2a6b(2),所以a2+3b246,即a2+b3有最小值46.剖析：不等式(1)中"二”成立的条件为a=b=12,不等式(2)中成立的条件为3a=2b,即a=25,b=53,可见，这两个号不能同时成立

5、，应变换解题途径.事实上,Va+b=1,/.2a+b3=2(aa+b)+3(ab+b)=5+2ab+3ba25+26,当且仅当3a2=2b2时"二”成立，故a2+b3的最小值为5+26•防范策略：教学中重视知识发生过程的展示，使学生深刻认知公式、定理成立的前提条件，能有效避免此类错误.5混淆“词义”与实际含义的差异忽视“词义”与实际含义的差别，导致解题错误时，往往是错而不觉.例5生产某种产品100件，其中有2件是次品•现在抽取5件进行检查，其中至少有1件次品的抽法有多少种？错解：先从2件次品中选出1件，有C12种选法，此时已确保有1件次品•再从余下的99件中任选4件，有C499种选法，共有

6、C12?C949种不同选法.剖析：此处错误十分隐蔽，原因是"至少”一词惹的祸.词义的理解似乎没有什么问题，实际却存在重复计算的错误.防范策略：教学中可将问题具体化•不妨以al、a2表示次品，以Cl、C2、…、C98表示正品•先取al,再取Cl、C2、C3、&2与先取a2,再取Cl、C2、C3、al属于同一种选取方案，它们都在C12?C949种选法中.可见，上述解答中含有C227C938种重复选法•正确答案是：C129C949?C22?C398种不同选法.学生借助具体模型进行辨析，印记深刻，能有效避免重蹈覆辙.6遗漏题设条件解题时忽视题设条件的限制，是造成失误的重要原因之例6已知双曲线x2?

7、y2=l的左支上一点P(a,b)到其渐近线的距离等于2,求a+b的值.错解:J点P(a,b)在双线x2?y2=l上,•••a2?b2二1…①，由点P到渐近线x?y二0的距离a?2b=2,得a?b二2…②，解①、②得a+b=±12.再由点P到渐近线x+y二0的距离a+2b=2,得a+b=±2.故a+b的值为±21或±2.剖析：解答中遗漏了点p在双曲线左支上这个条件，即忽视了点P的坐标(a,b)应满足：???aa+?bb18