基于对偶模型下阈值分红策略的分析

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1、目录中文摘要I英文摘要II1绪论11.1风险模型11.2分红策略以及Gerber-Shiu函数31.2.1分红策略的介绍31.2.2Gerber-Shiu函数41.3预备知识51.4本文的主要内容62阈值红利策略下带常利率的对偶风险模型72.1引言72.2卩⑦力）的积分•微分方程82.2.1方程的导出82.2.2收益服从指数分布时的显示解92.3一般分布的拉普拉斯变换102.4和％（"；〃）的积分•微分方程122.5Gerber・Shiu折现圖金函数143阈值红利策略下带扰动的对偶风险模型.173.1引言17M(u,y;b)和Vfl(u;b)的积

2、分■微分方程183.3关于yg的更新方程203.4Gerber・Shiu折现罚金函数233.23・5破产概率及其显示解24重庆大学硕士学位论文目录4总结与展望284.1论文总结284.2展望28致谢29参考文献30附录33A.作者硕士期间完成的论文目录331绪论在精算数学的范畴内，破产论是风险理论中的核心内容。它主要用于处理保险业务屮的随机风险模型，分析和研究保险公司的经营状况以确保其运营的安全性。风险理论主要是建立在一系列符合现实条件的假设下，考虑影响保险公司资金流动的因素进行数学建模，再利用微分方程、概率论与数理统计以及随机过程等数学知识对模

3、型进行研究分析，从而为保险公司的决策层对公司的风险决策提供重要理论依据。早期的对于风险理论的研究主要集中在破产理论。近年来，随着精算学的不断发展以及对风险理论的研究不断深入，特别是Lundberg-Cramer经典风险模型问世之后，越来越多的科研人员参与到风险理论的研究领域。于是，针对风险理论的研究范围越来越广泛并提出一些重要的风险模型，理论基础逐步完善以及更多的数学知识在该领域得到成功的应用。女山DeFinetti111^次在经典风险模型的研究中考虑了分红策略并得到了一些重要的理论结果；国际著名的精算大师Gerber和Shiu⑵提出了期望折现罚

4、金函数(即Gerber-Shiu函数)，成为了精算学者研究破产问题的一个重耍工具。最近，由Cramer131提出的关于经典风险模型的对偶模型受到了越来越多精算学者的关注，并将经典风险模型中的一些理论、方法很好的运用到对偶模型的研究中，使得单一针对保险公司的经典风险模型扩展到研究一般股份制公司等其他领域。本文主要研究了基于对偶模型下带阈值的分红问题和在对偶模型下讨论了Gerber-Shiu函数。1.1风险模型在精算学的风险理论中，通常情况下，根据保险公司的资金流动动态盈余过程可建立如下模型：U(t)=u+ct-S(t),r>0,(1.1)其中，ua

5、)为保险公司在/时刻的盈余，弘no为保险公司的初始准备金，co为N(D保险公司单位吋间内的保费收入。S(r)=X-iX,表示(0,/］吋间段内保险公司总的理赔额；｛W),^>0｝是一个计数过程，表示保险公司在(0,/］时间段内总的索赔次数；XJi+・,N⑴)表示保险公司第，次索赔额，是独立同分布的随机变量序列且服从分布函数F(x)=P(X0),并且我们假定N⑴和X,是相互独立的。经典风险模型是风险理论中提出最早、也是最简单的风险模型，对该模型的研究可以追溯到1903年瑞典精算师FillipLundberg发表的博士论文

6、，并在这篇论文中首次提出了一类重要的随机过程一Poisson过程。后来，以HaraldCramer为首的瑞典学派将Lundberg的工作建立在了数学基础之上以完成了其严格化的过程。因此，经典风险模型也称为Lundberg-Cramer模型，Lundberg和Cramer的工作也是当前被公认的经典破产论的理论基础。最初针对该模型的研究主要讨论保险公司的破产概率，由Lundberg141和Cramerl3^5J给岀了一些经典的结果。早期的经典风险模型没有考虑利率、通货膨胀等随机因素对公司盈余的影响，虽然在数学理论研究上带来了方便，但由于其简单化并不能

7、真正反映保险公司资本的营运状况。因此，很多精算学者在经典风险模型的基础上引入一些现实的随机因素进行了诸多推广并做了相应的研究〔"I。对于经典风险模型(1.1)的对偶模型可变形为如下形式：U(t)=u-ct+S(t),r>0.(1.2)由于该模型所研究的领域与经典风险模型不同，因此，模型(1.2)中各量含义与模型(1・1)屮是不同的。在模型(1.2)中，｛/⑴表示公司在/时刻的盈余，uno表示公司的初始准备金，c〉0表示公司单位时间内应支付的费用以及科研支出等。Nd)S(t)=X；/=1乞•表示公司在((V］时间段内的总收益，可解释为知识产权收益、

8、公司的红利以及盈利等;｛W),^>0｝是一个计数过程，表示(0,/］吋间段内总的收益次数；…,“⑴)表示第i次收益额，是独立同分布的随机