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1、分类方法与思想在初屮数学屮的运用闵行区教师进修学院吴洪数学“学”什么？方法和思想。在初中数学学习过程中，通过对所学知识的掌握、理解以及应用，处处体现了数学的基本方法和思想。从近几年的中考试题来看，数学基本方法和思想是重点考察的内容。因此，掌握和理解数学棊木方法和思想是非常重要的，分类讨论是其中重要的一部分。一、例题与分析例1等腰三角形的-•个内角是50。，那么这个等腰三角形的另两个内角的度数是度。分析：木题中等腰三角形的一个内角是50。，并没冇说明这个内角是顶角还是底角，同时50。是锐角，因此，在解答过程屮应考虑分两种情况：(i)如果这个内角是顶角，那么两个底
2、角的度数分别是65。；(ii)如果这个内角是底角，那么所求的另两个内角的度数分别是50。、80°o说明：如果本题中已知内角是100。，由于100。是钝角，因此这个内角只能是顶角。于是，答案是等腰三角形的两个底角的度数是4()。。例2已知：两圆内切，圆心距是2cm,其中一个圆的半径长是3cm,那么另一个圆的半径是cmo分析：两圆内切，其圆心距是大圆半径减去小圆半径。本题中，半径长是3C7H的圆同样没有说明是大圆述是小圆，因此，在解答过程中应考虑分两种情况：(i)如果这个圆是大圆，那么所求的另一个是小圆，其半径是lcm(ii)如果这个是小圆，那么所求的另一个圆就是
3、人圆，其半径是5cmo本题的另一解法是：设所求圆的半径是厂。则r-3=2,解得斤=1(cm),r2=1(cm)o说明：两圆内切，如果圆心距半径广，那么所求的另一个圆可能是人圆或小圆；如果圆心距半径厂，那么所求的另一个圆只能是大圆。例3己知关于兀的方程仏-2)兀2_2仏-l)x+R+l=0有实数根。(1)求实数k的取值范I韦h(2)当方程有两个实数根，且两个实数根的平方和等于4时，求k的值。分析：(1)学牛在解答木小题吋，往往将此方程视为一元二次方程，从而利用根的判别式解得RS3且£工2。但是，本题中已知条件并没有明确说明该方程是一元二次方程，也就是说，当k=2
4、时，原方程是一元一次方程-2x+3=0,实数根是x=-;当Rh2时•，原2方程才是一元二次方程。因此，木小题的正确答案是实数£的取值范围是k<3o(2)在本小题中，当方程有两个实数根时，那么原方程是一元二次方程。设方程的两个实数根是坷、由根与系数的关系得州+£=2(—1)k-2十岂。由已知条件知昇+兀和4,所以，泊寻一巻解得"1,心。因为心且例4如图，在正方形磁。中，佃3,点E在仙边上，且DE=*D,连结4延长交BA的延长线于点F.P是线段AF上一点(点P与点A、F不重合)，连结PD,交5皿••唱=畫=2,CFIs点、Q.设AP=x,CQ=y.(1)求AF的长
5、；(2)求y与兀的函数解析式，并写出函数定义域;(3)当△AC0是总角三角形时，求兀的值.解：(1)由正方形ABCD,得AB=CD=BC=3,:.AF=6.(2)由正方形ABCD,得=90°,乂BF=AB+AF=9,:.CF=yjBC2+BF2=V32+92=3V10,VAP=x,CQ=y,・・.FP=6—兀，Fe=3Vi0-y.FPUCD,=即得^_=—FPFQ6-x3V10-y所以，所求函数解析式是y=(3)VAC是正方形ABCD的対角线,AZBAC=45°,AZCAF=135°,:.ZACQ是锐角.当ZVICQ是直角三角形吋，只能是ZCA2=90°或乙4
6、0C=9O。.(i)如果ZCAQ=90°,则ZZM2=45°.延长4Q交CD的延长线于H,贝^ACH是等腰直角三角形，:•DH=3,:.CH=CD+HD=6・VCHIIAF,：.f^-=—=fCQCH2/.FQ=CQf即得y=-V10,x=3.(ii)如果Z4QC=90。，则厶FAQs&CB,:.—=LQ_y即_=3怖_)：,FCFB3V109解得y=@怖，・••兀=2・•523所以，当ZCQ是直介三角形时，由(i)(ii)得兀二一、3.2二、练习1.已知：等腰三角形的一个内角是40。，那么这个等腰三角形的另两个内角的度数是度。2.已知：等腰三角形的周长是2
7、4。加，并且一条边的边长是lOc/77,那么这个等腰三角形的另两条边的边长是c叫1.已知：等腰三和形的两边长分别是5和8,那么这个等腰三角形的底角的余弦值是。2.已知：等腰三角形的周长为20,某一内角的余弦值为2,那么这个等腰三角形的腰长等3于•3.已知：直角三角形的两边长分别是6和8,那么这个直角三角形的另--条边的边长是o4.已知：两圆相切，两圆的半径分别是3和5,那么两圆的圆心距是o5.已知：两圆内切，圆心距是3c加，其中一个圆的半径长是5cm,那么另一个圆的半径是cmo6.已知：O0的半径是5cmtAB、CQ是OO的两条平行弦。AB=6cm,CD=Sc
8、m,那么AB、CD两弦的弦心距是cm.
